קורס: אינפי 1 / חדו"א 1
אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה
שנה: 2018
סמסטר: ב
נושאים: אי-שוויונות, שיטת הביסוס, הוכחה
רמת קושי: קל-בינוני
הוכיחו את אי-שוויון ברנולי (טענה 1.43): לכל $x \in \mathbb{R}$ המקיים $x \ge -1$, ולכל מספר טבעי $n$, מתקיים $(1+x)^n \ge 1 + nx$.
רמז: הוכיחו באינדוקציה על $n$, תוך שימוש בכך ש-$1 + x \ge 0$.
פתרון: נוכיח באינדוקציה על $n$.
**בסיס ($n=1$):** $(1+x)^1 = 1+x = 1 + 1 \cdot x$. ✓
**צעד האינדוקציה:** נניח $(1+x)^k \ge 1 + kx$ עבור $k$ כלשהו. נוכיח ל-$k+1$.
מכיוון ש-$x \ge -1$, מתקיים $1 + x \ge 0$. לכן:
$$(1+x)^{k+1} = (1+x)^k \cdot (1+x) \ge (1+kx)(1+x)$$
משערת האינדוקציה
$$= 1 + x + kx + kx^2 = 1 + (k+1)x + kx^2 \ge 1 + (k+1)x$$
מכיוון ש-$kx^2 \ge 0$.
לכן $(1+x)^{k+1} \ge 1 + (k+1)x$, ומשפט ההשראה מוכח. $\blacksquare$
הוכיחו את אי-שוויון ברנולי (טענה 1.43): לכל x∈R המקיים x≥−1, ולכל מספר טבעי n, מתקיים (1+x)n≥1+nx.
האוניברסיטה הפתוחה862018סמסטר ב
אי-שוויונותשיטת הביסוסהוכחה
הוכיחו באינדוקציה על n, תוך שימוש בכך ש-1+x≥0.
נוכיח באינדוקציה על n.
**בסיס (n=1):** (1+x)1=1+x=1+1⋅x. ✓
צעד האינדוקציה: נניח (1+x)k≥1+kx עבור k כלשהו. נוכיח ל-k+1.
מכיוון ש-x≥−1, מתקיים 1+x≥0. לכן:
(1+x)k+1=(1+x)k⋅(1+x)≥(1+kx)(1+x)
משערת האינדוקציה
=1+x+kx+kx2=1+(k+1)x+kx2≥1+(k+1)x
מכיוון ש-kx2≥0.
לכן (1+x)k+1≥1+(k+1)x, ומשפט ההשראה מוכח. ■