שאלת מבחן באינפי 1 / חדו"א 1 - אוניברסיטת בר-אילן 2017 - נגזרות

תהי $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ פונקציה גזירה ויהיו $a < b \in \mathbb{R}$. נניח שקיימת סביבה של $a$ שבה $g'(x) < 0$. נתון בנוסף ש-$g(a) < g(b)$. הוכיחו שקיימת נקודה $c \in (a,b)$ עבורה $g'(c) = 0$. הערה: שימו לב שנגזרת של פונקציה גזירה אינה בהכרח רציפה!

רמז: מכיוון ש-$g'(x) < 0$ בסביבת $a$, הפונקציה יורדת ליד $a$, ולכן קיים $a_1 > a$ עם $g(a_1) < g(a) < g(b)$. הגדירו את הנקודה $c = \inf\{x \in [a_1, b] : g(x) = g(a)\}$ או השתמשו במשפט הערך הממוצע וב-Darboux.

פתרון: מכיוון ש-$g'(x) < 0$ בסביבה $(a - \delta, a + \delta)$ של $a$, הפונקציה $g$ **יורדת ממש** באותה סביבה. בפרט, קיים $a_1 \in (a, a + \delta) \subset (a, b)$ כך ש-$g(a_1) < g(a)$. $g$ גזירה ולכן רציפה על $[a_1, b]$. מכיוון ש-$g(a_1) < g(a) < g(b)$ (הנתון $g(a) < g(b)$ ו-$g(a_1) < g(a)$), לפי **משפט ויירשטראס** ל-$g$ יש מינימום על $[a_1, b]$. מכיוון ש-$g(a_1) < g(a) \le g(b)$ ו-$g(a_1) < g(b)$, הנקודה $a_1$ אינה בהכרח המינימום, אך הוא עשוי להתקבל בנקודה פנימית. ניגש אחרת: $g$ גזירה, ולכן $g'$ מקיימת את **תכונת דרבו** (ערך הביניים לנגזרות). ידוע ש-$g'(a_1) < 0$ (כי $a_1$ בסביבת $a$). לפי **משפט הערך הממוצע (לגראנז')** על $[a_1, b]$, קיים $d \in (a_1, b)$ כך ש-$g'(d) = \frac{g(b) - g(a_1)}{b - a_1} > 0$ (כי $g(b) > g(a) > g(a_1)$). כעת $g'(a_1) < 0$ ו-$g'(d) > 0$. לפי **משפט דרבו** (תכונת ערך הביניים לנגזרות), קיים $c \in (a_1, d) \subset (a, b)$ כך ש-$g'(c) = 0$. $\blacksquare$