שאלת מבחן במתמטיקה בדידה - אוניברסיטת תל אביב 2016 - עוצמות

(א) הוכיחו ללא שימוש בזהויות של חשבון עוצמות: לכל שתי עוצמות $a, b > 1$ מתקיים $a^b \cdot a^2 = a^{b+2}$. (6 נק') (ב) הוכיחו/הפריכו: לכל שתי עוצמות $a, b > 1$ מתקיים $a^b \cdot a^2 \neq a^b$. (4 נק')

רמז: לסעיף (א) הראו שקילות באמצעות בניית פונקציית שקילות ישירה בין $(B \to A) \times (\{0,1\} \to A)$ ו-$(B \cup \{0,1\}) \to A$ כאשר $B \cap \{0,1\} = \emptyset$. לסעיף (ב) נסו הפרכה עם $a = \aleph_0$.

פתרון: **(א)** תהיינה $A$ ו-$B$ קבוצות כך ש-$|A| = a$, $|B| = b$ ו-$B \cap \{0, 1\} = \emptyset$. יש להוכיח כי: $$|(B \to A) \times (\{0,1\} \to A)| = |(B \cup \{0,1\}) \to A|$$ ואכן, הפונקציה $$\lambda f \in B \to A, g \in \{0,1\} \to A.\, \lambda x \in B \cup \{0,1\}.\, \begin{cases} f(x) & x \in B \\ g(x) & x \in \{0,1\} \end{cases}$$ היא **פונקציית שקילות** המוגדרת היטב מ-$(B \to A) \times (\{0,1\} \to A)$ על $(B \cup \{0,1\}) \to A$ (יש להוכיח זאת). $\blacksquare$ **(ב) הפרכה:** $a = \aleph_0$, $b = 2$. לפי הסעיף הקודם: $a^b \cdot a^2 = a^{b+2} = (\aleph_0)^4$. כמו כן, $a^b = (\aleph_0)^2$. לפי משפט שנלמד בקורס, $(\aleph_0)^n = \aleph_0$ לכל $n \in \mathbb{N}^+$, ובפרט $(\aleph_0)^4 = \aleph_0$ ו-$(\aleph_0)^2 = \aleph_0$. בסה"כ $a^b \cdot a^2 = \aleph_0 = a^b$, כלומר הטענה **אינה נכונה**. $\blacksquare$