שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - משתנה מקרי בדיד

בערב אחד שודרו 8 פרסומות שונות בין 20:00-21:00 בטלוויזיה, מתוכן 4 פרסומות קצרות ו-4 פרסומות ארוכות. הניחו כי הפרסומות משובצות בסדר מקרי בשעה זו, כך שכל סידור אפשרי הוא שווה הסתברות. נסמן ב-$X$ את מספר הפרסומות ששודרו עד שהסתיימה הפרסומת הארוכה הראשונה. למשל, אם שתי הפרסומות הראשונות היו קצרות והשלישית ארוכה אז $X=3$. א. בנו את פונקציית ההסתברות של $X$. ב. מצאו את השונות של $X$. ג. מצאו את השונות של $X^2$.

רמז: חשבו על מספר הדרכים לסדר את הפרסומות כך שהפרסומת הארוכה הראשונה תופיע במקום ה-$k$. חלקו מספר זה בסך כל הסידורים האפשריים כדי למצוא את $P(X=k)$.

פתרון: נסמן ב-$S$ פרסומת קצרה וב-$L$ פרסומת ארוכה. ישנן 4 פרסומות מכל סוג, ובסך הכל 8 פרסומות. מרחב המדגם $\Omega$ הוא קבוצת כל הסידורים האפשריים של 8 הפרסומות. גודל המרחב הוא מספר הדרכים לסדר 4 פרסומות מסוג $L$ ו-4 פרסומות מסוג $S$, שהוא: $$|\Omega| = \binom{8}{4} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 70$$ ההנחה היא שכל סידור הוא שווה הסתברות. המשתנה המקרי $X$ הוא מספר הפרסומות ששודרו עד סוף הפרסומת הארוכה הראשונה. כלומר, $X=k$ אם הפרסומת במקום ה-$k$ היא הפרסומת הארוכה הראשונה. ### סעיף א: פונקציית ההסתברות של $X$ הערכים האפשריים ש-$X$ יכול לקבל הם $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. $X$ לא יכול לקבל ערך גדול מ-5, כי אחרי 4 פרסומות קצרות, הפרסומת החמישית חייבת להיות ארוכה. נחשב את ההסתברות $P(X=k)$ לכל ערך $k$ אפשרי. המאורע $\{X=k\}$ מתרחש אם ורק אם $k-1$ הפרסומות הראשונות הן קצרות ($S$), והפרסומת במקום ה-$k$ היא ארוכה ($L$). כדי שזה יקרה, אנו צריכים לסדר את הפרסומות כך ש-$k-1$ הראשונות הן $S$ וה-$k$-ית היא $L$. לאחר מכן, נותר לסדר את $8-k$ הפרסומות הנותרות. הפרסומות הנותרות הן 3 פרסומות ארוכות ($L$) ו-$4-(k-1) = 5-k$ פרסומות קצרות ($S$). מספר הדרכים לסדר את $8-k$ הפרסומות הנותרות הוא מספר הדרכים לבחור את המיקומים של 3 הפרסומות הארוכות הנותרות מתוך $8-k$ המקומות הפנויים, כלומר $\binom{8-k}{3}$. לכן, **פונקציית ההסתברות** של $X$ היא: $$P(X=k) = \frac{\binom{8-k}{3}}{\binom{8}{4}} = \frac{\binom{8-k}{3}}{70}, \quad k=1,2,3,4,5$$ נחשב את ההסתברויות לכל ערך של $k$: * $P(X=1) = \frac{\binom{7}{3}}{70} = \frac{35}{70} = \frac{1}{2}$ * $P(X=2) = \frac{\binom{6}{3}}{70} = \frac{20}{70} = \frac{2}{7}$ * $P(X=3) = \frac{\binom{5}{3}}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$ * $P(X=4) = \frac{\binom{4}{3}}{70} = \frac{4}{70} = \frac{2}{35}$ * $P(X=5) = \frac{\binom{3}{3}}{70} = \frac{1}{70}$ נבדוק שסכום ההסתברויות הוא 1: $\frac{35+20+10+4+1}{70} = \frac{70}{70} = 1$. לסיכום, פונקציית ההסתברות של $X$ היא: $p_X(k) = \begin{cases} 1/2 & k=1 \\ 2/7 & k=2 \\ 1/7 & k=3 \\ 2/35 & k=4 \\ 1/70 & k=5 \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases}$ ### סעיף ב: השונות של $X$ **השונות** מוגדרת על ידי $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$. נחשב תחילה את **התוחלת** של $X$ ואת התוחלת של $X^2$. **חישוב התוחלת $E[X]$**: $$E[X] = \sum_{k=1}^{5} k \cdot P(X=k)$$ $$E[X] = 1 \cdot \frac{35}{70} + 2 \cdot \frac{20}{70} + 3 \cdot \frac{10}{70} + 4 \cdot \frac{4}{70} + 5 \cdot \frac{1}{70}$$ $$E[X] = \frac{1}{70} (35 + 40 + 30 + 16 + 5) = \frac{126}{70} = \frac{9}{5} = 1.8$$ **חישוב התוחלת של $X^2$ ($E[X^2]$)**: $$E[X^2] = \sum_{k=1}^{5} k^2 \cdot P(X=k)$$ $$E[X^2] = 1^2 \cdot \frac{35}{70} + 2^2 \cdot \frac{20}{70} + 3^2 \cdot \frac{10}{70} + 4^2 \cdot \frac{4}{70} + 5^2 \cdot \frac{1}{70}$$ $$E[X^2] = \frac{1}{70} (1 \cdot 35 + 4 \cdot 20 + 9 \cdot 10 + 16 \cdot 4 + 25 \cdot 1)$$ $$E[X^2] = \frac{1}{70} (35 + 80 + 90 + 64 + 25) = \frac{294}{70} = \frac{21}{5} = 4.2$$ **חישוב השונות $Var(X)$**: $$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{21}{5} - \left(\frac{9}{5}\right)^2 = \frac{21}{5} - \frac{81}{25} = \frac{105-81}{25} = \frac{24}{25} = 0.96$$ $$Var(X) = \frac{24}{25} = 0.96$$ ### סעיף ג: השונות של $X^2$ השונות של המשתנה המקרי $Y=X^2$ מוגדרת על ידי: $$Var(X^2) = E[(X^2)^2] - (E[X^2])^2 = E[X^4] - (E[X^2])^2$$ את $E[X^2]$ חישבנו בסעיף הקודם: $E[X^2] = \frac{21}{5}$. לכן, $(E[X^2])^2 = (\frac{21}{5})^2 = \frac{441}{25}$. כעת נחשב את **התוחלת של $X^4$ ($E[X^4]$)**: $$E[X^4] = \sum_{k=1}^{5} k^4 \cdot P(X=k)$$ $$E[X^4] = 1^4 \cdot \frac{35}{70} + 2^4 \cdot \frac{20}{70} + 3^4 \cdot \frac{10}{70} + 4^4 \cdot \frac{4}{70} + 5^4 \cdot \frac{1}{70}$$ $$E[X^4] = \frac{1}{70} (1 \cdot 35 + 16 \cdot 20 + 81 \cdot 10 + 256 \cdot 4 + 625 \cdot 1)$$ $$E[X^4] = \frac{1}{70} (35 + 320 + 810 + 1024 + 625) = \frac{2814}{70} = \frac{1407}{35}$$ ניתן לרשום גם: $E[X^4] = 40.2$. **חישוב השונות $Var(X^2)$**: $$Var(X^2) = E[X^4] - (E[X^2])^2 = \frac{1407}{35} - \frac{441}{25}$$ נמצא מכנה משותף $lcm(35, 25) = 175$: $$Var(X^2) = \frac{1407 \cdot 5}{175} - \frac{441 \cdot 7}{175} = \frac{7035 - 3087}{175} = \frac{3948}{175}$$ $$Var(X^2) = \frac{3948}{175} \approx 22.56$$ $\blacksquare$