שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2017 - התפלגות נורמלית

במפעל ליצור קסדות לאופנועים יש צורך להתייחס לקוטר הראש של רוכב. לרוכב אקראי יש קוטר ראש מפולג נורמלי עם תוחלת $15$ ס"מ וסטיית תקן $2$ ס"מ. א. מצא את ההסתברות שקוטר ראשו של רוכב אקראי קטן מ-$15.5$ ס"מ. ב. מצא את ההסתברות של-$100$ רוכבים אקראיים יש ממוצע קוטר ראש קטן מ-$15.5$ ס"מ. ג. מנהל יצור מחליט לייצר סדרה ראשונית של קסדות. בעקבות התוצאות של סעיף ב' הוא מחליט לייצר קסדה שתתאים לרוכבים עם קוטר ראש קטן מ-$15.5$ ס"מ בגלל שקסדה כזאת תתאים לרב המוחלט של הרוכבים. מה הטעות בטיעון של מנהל הייצור? ד. מצא חסם להסתברות שקוטר הראש של רוכב בודד הוא בין $12.5$ ל- $19.0$ ס"מ.

רמז: שימו לב להבדל בין התפלגות של משתנה מקרי בודד לבין התפלגות של ממוצע מדגם. עבור החסם בסעיף ד', השתמשו באי-שוויון צ'בישב.

פתרון: יהי $X$ משתנה מקרי המייצג את קוטר הראש של רוכב אקראי. נתון כי $X$ מתפלג נורמלית עם תוחלת $\mu = 15$ ס"מ וסטיית תקן $\sigma = 2$ ס"מ. כלומר, $X \sim N(15, 2^2)$. **א. ההסתברות שקוטר ראשו של רוכב אקראי קטן מ-15.5 ס"מ** אנו מחפשים את $P(X < 15.5)$. לשם כך, נתקנן את המשתנה המקרי $X$ למשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי $Z \sim N(0,1)$ באמצעות הנוסחה $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$. $$ P(X < 15.5) = P\left(\frac{X - 15}{2} < \frac{15.5 - 15}{2}\right) = P(Z < 0.25) $$ מטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, אנו מוצאים את הערך של פונקציית ההתפלגות המצטברת $\Phi(0.25)$. $$ \Phi(0.25) \approx 0.5987 $$ לכן, ההסתברות שקוטר ראשו של רוכב אקראי קטן מ-15.5 ס"מ היא כ-**59.87%**. **ב. ההסתברות של-100 רוכבים אקראיים יש ממוצע קוטר ראש קטן מ-15.5 ס"מ** יהיו $X_1, X_2, \dots, X_{100}$ משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות (i.i.d.), כאשר כל אחד מהם מייצג קוטר ראש של רוכב, $X_i \sim N(15, 4)$. אנו מעוניינים בממוצע המדגם $\bar{X}_{100} = \frac{1}{100}\sum_{i=1}^{100} X_i$. לפי **משפט הגבול המרכזי** (או במקרה זה, באופן מדויק יותר, מתכונות הסכום של משתנים נורמליים), ממוצע המדגם גם הוא מתפלג נורמלית. ה**תוחלת** של ממוצע המדגם שווה לתוחלת האוכלוסייה: $$ E[\bar{X}_{100}] = \mu = 15 $$ ה**שונות** של ממוצע המדגם היא שונות האוכלוסייה חלקי גודל המדגם: $$ Var(\bar{X}_{100}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{100} = 0.04 $$ **סטיית התקן** של הממוצע היא $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{0.04} = 0.2$. כלומר, $\bar{X}_{100} \sim N(15, 0.04)$. כעת נחשב את ההסתברות $P(\bar{X}_{100} < 15.5)$ על ידי תקנון: $$ P(\bar{X}_{100} < 15.5) = P\left(\frac{\bar{X}_{100} - 15}{0.2} < \frac{15.5 - 15}{0.2}\right) = P\left(Z < \frac{0.5}{0.2}\right) = P(Z < 2.5) $$ מטבלת ההתפלגות הנורמלית, $\Phi(2.5) \approx 0.9938$. לכן, ההסתברות שלמאה רוכבים יש ממוצע קוטר ראש קטן מ-15.5 ס"מ היא כ-**99.38%**. **ג. הטעות בטיעון של מנהל הייצור** הטעות המרכזית בטיעונו של מנהל הייצור היא בלבול בין **התפלגות של פרט בודד** לבין **התפלגות ממוצע המדגם**. - התוצאה הגבוהה בסעיף ב' ($99.38\%$) מתייחסת להסתברות שה**ממוצע** של קבוצה גדולה של רוכבים יהיה קטן מ-15.5 ס"מ. השונות של הממוצע קטנה משמעותית מהשונות של פרט בודד, ולכן הממוצע נוטה להיות קרוב מאוד לתוחלת האוכלוסייה. - ההחלטה על ייצור קסדה במידה מסוימת צריכה להתבסס על ההסתברות שהיא תתאים ל**רוכב אקראי בודד**. הסתברות זו חושבה בסעיף א' והיא $P(X < 15.5) \approx 60\%$. משמעות הדבר היא שהקסדה המתוכננת תתאים רק לכ-60% מהרוכבים, ולא ל"רב המוחלט" כפי שטען המנהל. המנהל הסיק מסקנה על פרטים מתוך סטטיסטיקה על קבוצה, וזוהי טעות נפוצה. **ד. חסם להסתברות** אנו נדרשים למצוא חסם להסתברות $P(12.5 < X < 19.0)$. נשתמש ב**אי-שוויון צ'בישב**, הקובע כי לכל משתנה מקרי $X$ עם תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$, ולכל $k > 0$: $$ P(|X - \mu| \ge k\sigma) \le \frac{1}{k^2} $$ אנו מעוניינים בחסם עבור $P(12.5 < X < 19.0)$. נעבוד עם המאורע המשלים, $A = \{X \le 12.5\} \cup \{X \ge 19.0\}$. המרחקים מהתוחלת $\mu=15$ הם $15 - 12.5 = 2.5$ ו-$19.0 - 15 = 4$. ניקח את המרחק הקטן יותר, $d=2.5$. המאורע $A$ מוכל במאורע $B = \{|X-15| \ge 2.5\}$, מכיוון שכל $x$ שמקיים $x \le 12.5$ או $x \ge 19.0$ מקיים גם $|x-15| \ge 2.5$. לכן, $P(A) \le P(B)$. נמצא חסם עליון ל-$P(B)$ באמצעות אי-שוויון צ'בישב. נמיר את המרחק $2.5$ ליחידות של סטיות תקן. עם $\sigma=2$: $$ k\sigma = 2.5 \implies k = \frac{2.5}{2} = 1.25 $$ לפי אי-שוויון צ'בישב: $$ P(|X - 15| \ge 2.5) \le \frac{1}{1.25^2} = \frac{1}{1.5625} = 0.64 $$ זהו חסם עליון להסתברות המאורע המשלים: $P(A) \le 0.64$. מכאן נובע חסם תחתון להסתברות המקורית: $$ P(12.5 < X < 19.0) = 1 - P(A) \ge 1 - 0.64 = 0.36 $$ לפיכך, ההסתברות שקוטר הראש של רוכב בודד הוא בין $12.5$ ל-$19.0$ ס"מ היא לפחות **0.36**. $\blacksquare$