שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2015 - משתנה מקרי רציף

במפעל אחר משקלו של חטיף אנרגיה הוא מ"מ רציף הנמדד בגרמים ומתפלג לפי פונקצית הצפיפות הבאה: $$f(x) = \begin{cases} 1/10 & 80 < x < 90 \\ 0 & else \end{cases}$$ 6 לקוחות קנו חטיף אנרגיה אחד לכל אחד. ידוע כי לקוח מתלונן אם משקל החטיף אותו קנה קטן מ- 82 גרם. יהי Y - מספר הלקוחות שהתלוננו מבין 6 הלקוחות שקנו את החטיף. בנה את פונקצית ההסתברות של Y. (ניתן גם להציג את פונקצית ההסתברות בטבלה).

רמז: ראשית, חשבו את ההסתברות שלקוח בודד יתלונן באמצעות אינטגרל על פונקציית הצפיפות. לאחר מכן, זהו את ההתפלגות של מספר הלקוחות המתלוננים מתוך 6, אשר מתארת סדרה של ניסויים בלתי תלויים.

פתרון: יהי $X$ משתנה מקרי המייצג את משקלו של חטיף אנרגיה בודד. נתון כי $X$ מתפלג לפי פונקציית הצפיפות: $$f(x) = \begin{cases} 1/10 & 80 < x < 90 \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases}$$ זוהי **התפלגות אחידה** רציפה על הקטע $(80, 90)$, ונסמן $X \sim U(80, 90)$. לקוח מתלונן אם משקל החטיף שקנה קטן מ-82 גרם. נחשב את ההסתברות שלקוח בודד יתלונן. נסמן הסתברות זו ב-$p$. $$p = P(X < 82) = \int_{-\infty}^{82} f(x) dx = \int_{80}^{82} \frac{1}{10} dx$$ $$p = \frac{1}{10} [x]_{80}^{82} = \frac{1}{10} (82-80) = \frac{2}{10} = 0.2$$ כעת, יהי $Y$ משתנה מקרי המייצג את מספר הלקוחות שהתלוננו מבין 6 לקוחות. כל לקוח מהווה ניסוי ברנולי בלתי תלוי, כאשר "הצלחה" מוגדרת כלקוח שמתלונן. ההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $p=0.2$. לפיכך, המשתנה המקרי $Y$ מתפלג **התפלגות בינומית** עם פרמטרים $n=6$ (מספר הניסויים) ו-$p=0.2$ (הסתברות להצלחה). נסמן $Y \sim Bin(n=6, p=0.2)$. **פונקציית ההסתברות** של $Y$ ניתנת על ידי הנוסחה: $$P(Y=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} = \binom{6}{k} (0.2)^k (0.8)^{6-k}$$ עבור $k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. נציג את פונקציית ההסתברות בטבלה: | k (מספר מתלוננים) | $P(Y=k)$ | חישוב | |---|---|---| | 0 | $0.262144$ | $\binom{6}{0} (0.2)^0 (0.8)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 0.262144$ | | 1 | $0.393216$ | $\binom{6}{1} (0.2)^1 (0.8)^5 = 6 \cdot 0.2 \cdot 0.32768$ | | 2 | $0.24576$ | $\binom{6}{2} (0.2)^2 (0.8)^4 = 15 \cdot 0.04 \cdot 0.4096$ | | 3 | $0.08192$ | $\binom{6}{3} (0.2)^3 (0.8)^3 = 20 \cdot 0.008 \cdot 0.512$ | | 4 | $0.01536$ | $\binom{6}{4} (0.2)^4 (0.8)^2 = 15 \cdot 0.0016 \cdot 0.64$ | | 5 | $0.001536$ | $\binom{6}{5} (0.2)^5 (0.8)^1 = 6 \cdot 0.00032 \cdot 0.8$ | | 6 | $0.000064$ | $\binom{6}{6} (0.2)^6 (0.8)^0 = 1 \cdot 0.000064 \cdot 1$ |