שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - קוואזי-סטטיקה

נתון התקן המורכב משני לוחות מוליכים מושלמים עגולים קונצנטריים ברדיוס $R_2$. בחלל בין הלוחות (גובה $h$) מכניסים קליפה גלילית ברדיוס $R_1$ ממוליך מושלם, בעלת ציר סימטריה משותף עם הלוחות. את החלל הנותר ממלאים בחומר מגנטי בעל וקטור מגנוט $\vec M$ המפולג באחידות בהיקף. ההתקן מוזן ע"י זרם משטחי $\vec K=K_0\cos(\omega t)\hat z$. הנחות: $h\ll R_1,R_2$ (הזנחת אפקטי קצוות), $\epsilon_r=1$, אין שדות מחוץ להתקן, וסימטריה אזימוטלית מלאה ($\partial_\phi=0$). עבור סעיפים א-ד נתון $\vec M=\vec 0$. **א.** מהו התנאי על תדר המקור $\omega$ כדי לנתח את ההתקן בקירוב הקווזי-סטטי? **ב.** באיזה משטר נמצא ההתקן? פרטו כיצד קבעתם. **ג.** חשבו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בהתקן. **ד.** האם מתבזבז הספק בהתקן? נמקו מילולית. עבור סעיפים ה-ו נתון $\vec M=M_0\displaystyle\sum_{n=0}^{10}\left(\dfrac{z}{r}\right)^n\hat\phi$ ($M_0$ קבוע). **ה.** חשבו את צפיפות מטען המגנוט הנפחית $\rho_m$ והמשטחית $\rho_{sm}$ בהתקן ועל שפתיו. **ו.** האם השדות החשמלי והמגנטי שונים מאלה שבסעיף ג? אם כן חשבו, אם לא הסבירו מדוע. עבור סעיפים ז-ח נתון $\vec M=\dfrac{M_0}{r}\hat r$ ($M_0$ קבוע) וכן $K_0=0$. **ז.** מדוע ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי בתוך ההתקן? כתבו צורת פתרון כללי. **ח.** חשבו במפורש את הפוטנציאל המגנטי הסקלרי $U_m$ בתוך ההתקן (ניתן להניח $U_m=0$ ב-$r=R_2$).

רמז: קווזי-סטטיקה דורשת $\lambda\gg R_2$ ⇒ $\omega\ll 2\pi c/R_2$; ללא הפסדים ועם מסלול זרימה סגור המשטר MQS. חוק אמפר נותן $\vec H=-\frac{K_0R_2}{r}\hat\phi$, ופאראדיי עם $E_z(R_1)=0$ נותן $\vec E=-j\omega\mu_0K_0R_2\ln(r/R_1)\hat z$. מגנטיזציה בכיוון $\hat\phi$ נותנת $\rho_m=\rho_{sm}=0$ (אין השפעה); מגנטיזציה רדיאלית $M_0/r\,\hat r$ מזינה בעיית לפלס $U_m=M_0\ln(r/R_2)$.

פתרון: **א.** משיקולי אורך גל: $\lambda\gg R_2\Rightarrow\dfrac{2\pi c}{\omega}\gg R_2\Rightarrow\dfrac{2\pi c}{R_2}\gg\omega$. **ב.** אין הפסדים כלל, ובנוסף קיים מסלול זרימה סגור בתדר DC — ולכן המשטר **מגנטו-קווזי-סטטי (MQS)**. **ג.** מחוק אמפר האינטגרלי (הזרם החוצה את הלולאה הוא זרם הקליפה הפנימית, עם סימן מינוס): $$2\pi rH_\phi=-K_0\,2\pi R_2\ \Rightarrow\ \vec H=-\dfrac{K_0R_2}{r}\hat\phi$$ מחוק פאראדיי ($\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$) עם $\vec E=E_z\hat z$ ותנאי $E_z(R_1)=0$: $$\dfrac{\partial E_z}{\partial r}=-j\omega\mu_0\dfrac{K_0R_2}{r}\ \Rightarrow\ \vec E=-j\omega\mu_0K_0R_2\ln\!\left(\dfrac{r}{R_1}\right)\hat z$$ **ד.** לא. בהתקן אין גורם המבזבז הספק (אין מוליכות סופית), ולכן לא מתבזבז הספק. **ה.** $\vec M$ בכיוון $\hat\phi$ ותלוי רק ב-$r,z$, ולכן $\rho_m=-\nabla\cdot\vec M=0$ (דיברגנץ של רכיב $\hat\phi$ שאינו תלוי $\phi$ מתאפס). כל משטחי ההפרדה בעלי נורמל $\hat r$ או $\hat z$, ואילו $\vec M\parallel\hat\phi$, ולכן אין רכיב נורמלי — $\rho_{sm}=0$. **ו.** לא. החלק הקווזי-סטטי (מהמקור) אינו מושפע מ-$\vec M$; ומכיוון ש-$\vec M$ אינו תלוי בזמן הוא אינו תורם לשדה החשמלי, ומכיוון ש-$\rho_m=\rho_{sm}=0$ הפוטנציאל המגנטי הסקלרי הנוסף אפס — לכן $\vec E,\vec H$ ללא שינוי. **ז.** כעת $K_0=0$ (אין זרמים חופשיים) ואין שינויים בזמן, ולכן $\nabla\times\vec H=0$ וקיים פוטנציאל מגנטי סקלרי $\vec H=-\nabla U_m$. מהסימטריה האזימוטלית הפתרון הטריוויאלי (הרדיאלי): $U_m=A+B\ln(r)$. **ח.** צפיפויות המגנוט: $\rho_m=-\nabla\cdot\vec M=-\dfrac1r\partial_r\!\left(r\dfrac{M_0}{r}\right)=0$; על השפות $\rho_{sm}(R_1)=-\mu_0\dfrac{M_0}{R_1}$, $\rho_{sm}(R_2)=\mu_0\dfrac{M_0}{R_2}$. פתרון לפלס $U_m=A+B\ln r$ עם תנאי הקפיצה $-\mu_0\partial_rU_m|_{R_1}=\rho_{sm}(R_1)$ נותן $B=M_0$, והתנאי $U_m(R_2)=0$ נותן $A=-M_0\ln R_2$. סה"כ $$U_m(r)=M_0\ln\!\left(\dfrac{r}{R_2}\right)$$ $\blacksquare$