שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2025 - הסתברות

נתונים מאורעות ממצים $A$ ו-$B$, ונתון כי: $$P(\bar{A}), P(\bar{B}) \neq 0$$ מה מהבאים נכון בהכרח? א. $P(\bar{A}) + P(\bar{B}) = P(\bar{A} \cup \bar{B})$ ב. $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(A \cup B)$ ג. $P(A \cap B) > 0$ ד. $P(A) + P(B) = 1$

רמז: אם $A$ ו-$B$ ממצים, אז $A \cup B = \Omega$. השתמשו בחוקי דה-מורגן: $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$.

פתרון: מכיוון ש-$A$ ו-$B$ **ממצים**: $A \cup B = \Omega$. לפי **דה-מורגן**: $\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B} = \overline{\Omega} = \emptyset$. לכן $\bar{A}$ ו-$\bar{B}$ הם **זרים** (מאורעות מנוגדים), ומכאן: $$P(\bar{A} \cup \bar{B}) = P(\bar{A}) + P(\bar{B})$$ → **א נכון**. ב שגוי — $P(\bar{A} \cup \bar{B}) = 1 - P(A \cap B)$ בעוד $P(A \cup B) = 1$, שווים רק אם $P(A \cap B) = 0$. ג שגוי — $A$ ו-$B$ יכולים להיות גם זרים וגם ממצים. ד שגוי — נכון רק אם $A$ ו-$B$ גם זרים.