שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - מרחב הסתברות

מבין המשפחות המתגוררות בקהילה מסוימת ושבהן 3 ילדים, בוחרים משפחה אחת באקראי. ידוע כי: • ב45%־ ממשפחות אלו הילד הבכור הוא בת; • ב10%־ ממשפחות אלו שלושת הילדים הם בנות; • ב25%־ ממשפחות אלו יש שתי בנות, שאחת מהן היא הבכורה; • ב75%־ ממשפחות אלו לפחות אחד מבין שני הילדים הצעירים ביותר היא בת; • וב13%־ ממשפחות אלו הילד הבכור הוא בן ושני הילדים האחרים הם בנות. א. (6 נק') מהי ההסתברות שלשלושת הילדים במשפחה שנבחרה הם בעלי אותו מגדר? ב. (6 נק') אם ידוע שבמשפחה שנבחרה יש בדיוק בת אחת, מהי ההסתברות שהיא הבכורה? ג. (6 נק') אם ידוע שבמשפחה שנבחרה יש לפחות בן אחד, מהי ההסתברות שהילד הבכור הוא בן? ד. (7 נק') מהי שונות מספר הבנות במשפחה שנבחרה, ומהי שונות מספר הבנים שבה?

רמז: תחילה, הגדירו את מרחב המדגם ותרגמו את הנתונים למשוואות הסתברותיות על המאורעות היסודיים. לאחר מכן, פתרו את סעיפים ב' ו-ג' באמצעות נוסחת ההסתברות המותנית, ופתרו את סעיף ד' על ידי חישוב התוחלת והשונות של משתנה מקרי המייצג את מספר הבנות.

פתרון: תחילה, נגדיר את מרחב המדגם. נסמן 'ב' עבור בת ו-'ז' עבור בן. סדר הילדים הוא מהבכור לצעיר. מרחב המדגם הוא: $$ \Omega = \{ \text{זזז, זזב, זבז, בזז, זבב, בזב, בבז, בבב} \} $$ כעת, נתרגם את הנתונים מהשאלה למשוואות הסתברותיות: 1. ההסתברות שהילד הבכור הוא בת היא 0.45: $P(\{\text{בזז, בזב, בבז, בבב}\}) = P(\text{בזז}) + P(\text{בזב}) + P(\text{בבז}) + P(\text{בבב}) = 0.45$ 2. ההסתברות ששלושת הילדים הם בנות היא 0.10: $P(\text{בבב}) = 0.10$ 3. ההסתברות שיש שתי בנות, והבכורה היא אחת מהן, היא 0.25: $P(\{\text{בזב, בבז}\}) = P(\text{בזב}) + P(\text{בבז}) = 0.25$ 4. ההסתברות שלפחות אחד משני הילדים הצעירים הוא בת היא 0.75. המאורע המשלים הוא ששני הילדים הצעירים הם בנים (ז"א, התוצאות הן זזז או בזז). לכן: $P(\{\text{זזז, בזז}\}) = 1 - 0.75 = 0.25$ 5. ההסתברות שהבכור הוא בן והשניים האחרים בנות היא 0.13: $P(\text{זבב}) = 0.13$ נשתמש בנתונים אלה כדי למצוא את ההסתברויות של מאורעות יסודיים (או צירופים שלהם) הדרושים לנו. מנתון (2) ו-(3) ו-(1): $P(\text{בזז}) + (P(\text{בזב}) + P(\text{בבז})) + P(\text{בבב}) = 0.45$ $P(\text{בזז}) + 0.25 + 0.10 = 0.45 \implies P(\text{בזז}) = 0.10$ מנתון (4) והתוצאה שהתקבלה: $P(\text{זזז}) + P(\text{בזז}) = 0.25$ $P(\text{זזז}) + 0.10 = 0.25 \implies P(\text{זזז}) = 0.15$ סך כל ההסתברויות הוא 1. נחשב את סכום ההסתברויות של המאורעות שאינם $\{ \text{זזב, זבז} \}$: $P(\text{זזז}) + P(\text{בזז}) + P(\text{זבב}) + (P(\text{בזב}) + P(\text{בבז})) + P(\text{בבב})$ $= 0.15 + 0.10 + 0.13 + 0.25 + 0.10 = 0.73$ לכן, סכום ההסתברויות של המאורעות הנותרים הוא: $P(\{\text{זזב, זבז}\}) = P(\text{זזב}) + P(\text{זבז}) = 1 - 0.73 = 0.27$ סיכום ההסתברויות הדרושות: - $P(\text{זזז}) = 0.15$ - $P(\text{בבב}) = 0.10$ - $P(\text{בזז}) = 0.10$ - $P(\text{זבב}) = 0.13$ - $P(\text{בזב}) + P(\text{בבז}) = 0.25$ - $P(\text{זזב}) + P(\text{זבז}) = 0.27$ **א. מהי ההסתברות שלשלושת הילדים במשפחה שנבחרה הם בעלי אותו מגדר?** המאורע שכל הילדים הם מאותו המגדר הוא האיחוד של שני מאורעות זרים: {זזז} ו-{בבב}. ההסתברות היא סכום ההסתברויות שלהם: $$ P(\text{אותו מגדר}) = P(\text{זזז}) + P(\text{בבב}) = 0.15 + 0.10 = 0.25 $$ **ב. אם ידוע שבמשפחה שנבחרה יש בדיוק בת אחת, מהי ההסתברות שהיא הבכורה?** זוהי **הסתברות מותנית**. נגדיר את המאורעות: - $A$: "במשפחה יש בדיוק בת אחת". $A = \{\text{זזב, זבז, בזז}\}$. - $B$: "הבת היחידה היא הבכורה". $B = \{\text{בזז}\}$. אנו מחפשים את $P(B|A)$. לפי הגדרת הסתברות מותנית: $$ P(B|A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)} $$ נשים לב ש $B \subseteq A$, ולכן $B \cap A = B$. נחשב את ההסתברויות: $P(B) = P(\text{בזז}) = 0.10$ $P(A) = P(\text{זזב}) + P(\text{זבז}) + P(\text{בזז}) = (P(\text{זזב}) + P(\text{זבז})) + P(\text{בזז}) = 0.27 + 0.10 = 0.37$ לכן, ההסתברות המבוקשת היא: $$ P(B|A) = \frac{0.10}{0.37} = \frac{10}{37} $$ **ג. אם ידוע שבמשפחה שנבחרה יש לפחות בן אחד, מהי ההסתברות שהילד הבכור הוא בן?** שוב, זוהי **הסתברות מותנית**. נגדיר את המאורעות: - $C$: "במשפחה יש לפחות בן אחד". זהו המאורע המשלים ל"כל הילדים הן בנות": $C = \Omega \setminus \{\text{בבב}\}$. - $D$: "הילד הבכור הוא בן". $D = \{\text{זזז, זזב, זבז, זבב}\}$. אנו מחפשים את $P(D|C)$. $$ P(D|C) = \frac{P(D \cap C)}{P(C)} $$ נשים לב שאם הילד הבכור הוא בן, אז בהכרח יש לפחות בן אחד במשפחה. לכן $D \subseteq C$, ומתקיים $D \cap C = D$. נחשב את ההסתברויות: $P(C) = 1 - P(\text{בבב}) = 1 - 0.10 = 0.90$ $P(D) = P(\text{זזז}) + P(\text{זזב}) + P(\text{זבז}) + P(\text{זבב}) = P(\text{זזז}) + (P(\text{זזב}) + P(\text{זבז})) + P(\text{זבב}) = 0.15 + 0.27 + 0.13 = 0.55$ לכן, ההסתברות המבוקשת היא: $$ P(D|C) = \frac{P(D)}{P(C)} = \frac{0.55}{0.90} = \frac{55}{90} = \frac{11}{18} $$ **ד. מהי שונות מספר הבנות במשפחה שנבחרה, ומהי שונות מספר הבנים שבה?** נגדיר **משתנה מקרי בדיד** $X$ כמספר הבנות במשפחה. $X$ יכול לקבל את הערכים $\{0, 1, 2, 3\}$. נגדיר משתנה מקרי $Y$ כמספר הבנים במשפחה. מתקיים $X+Y=3$, כלומר $Y = 3-X$. לפי תכונות ה**שונות**: $$ \text{Var}(Y) = \text{Var}(3-X) = \text{Var}(-X) = (-1)^2 \text{Var}(X) = \text{Var}(X) $$ לכן, שונות מספר הבנים שווה לשונות מספר הבנות. נחשב את $\text{Var}(X)$. תחילה, נמצא את **פונקציית ההסתברות** של $X$: - $P(X=0) = P(\text{זזז}) = 0.15$ - $P(X=1) = P(\{\text{זזב, זבז, בזז}\}) = (P(\text{זזב}) + P(\text{זבז})) + P(\text{בזז}) = 0.27 + 0.10 = 0.37$ - $P(X=2) = P(\{\text{זבב, בזב, בבז}\}) = P(\text{זבב}) + (P(\text{בזב}) + P(\text{בבז})) = 0.13 + 0.25 = 0.38$ - $P(X=3) = P(\text{בבב}) = 0.10$ (נבדוק שסך ההסתברויות הוא $0.15+0.37+0.38+0.10=1$). כעת נחשב את ה**תוחלת** של $X$: $$ E[X] = \sum_{k=0}^3 k \cdot P(X=k) = 0(0.15) + 1(0.37) + 2(0.38) + 3(0.10) = 0 + 0.37 + 0.76 + 0.30 = 1.43 $$ כעת נחשב את התוחלת של $X^2$: $$ E[X^2] = \sum_{k=0}^3 k^2 \cdot P(X=k) = 0^2(0.15) + 1^2(0.37) + 2^2(0.38) + 3^2(0.10) = 0 + 0.37 + 4(0.38) + 9(0.10) = 0.37 + 1.52 + 0.90 = 2.79 $$ השונות של $X$ היא: $$ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 2.79 - (1.43)^2 = 2.79 - 2.0449 = 0.7451 $$ לכן, שונות מספר הבנות היא 0.7451, וגם שונות מספר הבנים היא 0.7451. $\blacksquare$