שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - משתנה מקרי בדיד

נתונה פונקציית הסתברות: $P(X = x) = \frac{k}{x^4}$ כאשר $x = 1, 2, 3, \ldots$ א. מצאו את הערך של $k$ כך שהפונקציה תהיה חוקית. ב. חשבו את $E[X]$ (התוחלת של $X$). ג. מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת $F_X(t)$ של $X$ בתחום $t \geq 1$. ד. חשבו את $E[X^3]$ ולאחר מכן את $E[2X^3 - 4]$.

רמז: כדי למצוא את הקבוע k, יש לדרוש שסכום כל ההסתברויות יהיה שווה ל-1. לאחר מכן, השתמשו בהגדרות של תוחלת ופונקציית התפלגות מצטברת כדי לחשב את הגדלים המבוקשים.

פתרון: **א. מצאו את הערך של k** כדי שפונקציית הסתברות (PMF) תהיה חוקית, סכום כל ההסתברויות על פני כל הערכים האפשריים במרחב המדגם חייב להיות שווה ל-1. במקרה זה, $X$ מקבל ערכים $x = 1, 2, 3, \ldots$. לכן, אנו דורשים: $$ \sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1 $$ נציב את הפונקציה הנתונה: $$ \sum_{x=1}^{\infty} \frac{k}{x^4} = 1 $$ נוציא את הקבוע $k$ מחוץ לסכום: $$ k \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^4} = 1 $$ הטור $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^s}$ הוא **פונקציית זטא של רימן**, המסומנת $\zeta(s)$. במקרה שלנו, $s=4$. ידוע כי הערך של פונקציית זטא בנקודה 4 הוא $\zeta(4) = \frac{\pi^4}{90}$. נציב ערך זה במשוואה: $$ k \cdot \frac{\pi^4}{90} = 1 $$ נפתור עבור $k$: $$ k = \frac{90}{\pi^4} $$ **ב. חשבו את $E[X]$ (התוחלת של $X$)** **התוחלת** של משתנה מקרי בדיד $X$ מוגדרת על ידי $E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x)$. נחשב את התוחלת עבור המשתנה הנתון: $$ E[X] = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot P(X=x) = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot \frac{k}{x^4} = k \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^3} $$ הטור $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^3}$ הוא $\zeta(3)$ (הידוע גם כקבוע אפרי). אין לו צורה סגורה פשוטה המורכבת מקבועים מתמטיים בסיסיים. נציב את הערך של $k$ שמצאנו בסעיף א': $$ E[X] = \frac{90}{\pi^4} \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x^3} = \frac{90}{\pi^4} \zeta(3) $$ **ג. מצאו את פונקציית ההתפלגות המצטברת $F_X(t)$ של $X$ בתחום $t \geq 1$** **פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF)** $F_X(t)$ מוגדרת כהסתברות שהמשתנה המקרי $X$ יקבל ערך קטן או שווה ל-$t$, כלומר $F_X(t) = P(X \leq t)$. מכיוון ש-$X$ הוא משתנה מקרי בדיד המקבל ערכים שלמים חיוביים, עבור $t \geq 1$ מתקיים: $$ F_X(t) = \sum_{x=1, x \leq t} P(X=x) = \sum_{x=1}^{\lfloor t \rfloor} P(X=x) $$ כאשר $\lfloor t \rfloor$ היא פונקציית הרצפה (הערך השלם הגדול ביותר שאינו גדול מ-$t$). נציב את פונקציית ההסתברות ואת הקבוע $k$: $$ F_X(t) = \sum_{x=1}^{\lfloor t \rfloor} \frac{90/\pi^4}{x^4} = \frac{90}{\pi^4} \sum_{x=1}^{\lfloor t \rfloor} \frac{1}{x^4} $$ זוהי פונקציית מדרגות שגדלה בקפיצות בערכים השלמים. **ד. חשבו את $E[X^3]$ ולאחר מכן את $E[2X^3 - 4]$** כדי לחשב את התוחלת של פונקציה של משתנה מקרי, $g(X)$, נשתמש בנוסחת התוחלת (LOTUS): $E[g(X)] = \sum_{x} g(x) P(X=x)$. במקרה הראשון, $g(X) = X^3$: $$ E[X^3] = \sum_{x=1}^{\infty} x^3 \cdot P(X=x) = \sum_{x=1}^{\infty} x^3 \cdot \frac{k}{x^4} = k \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x} $$ הטור $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{x}$ הוא **הטור ההרמוני**, אשר ידוע כי הוא מתבדר לאינסוף. לכן, התוחלת $E[X^3]$ אינה סופית. $$ E[X^3] = \infty $$ כעת נחשב את $E[2X^3 - 4]$ תוך שימוש ב**לינאריות התוחלת**: $$ E[2X^3 - 4] = E[2X^3] - E[4] = 2E[X^3] - 4 $$ מכיוון ש-$E[X^3]$ הוא אינסוף, התוצאה היא: $$ E[2X^3 - 4] = 2 \cdot \infty - 4 = \infty $$ התוחלת $E[2X^3 - 4]$ אינה סופית. $\blacksquare$