שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2021 - התפלגות פואסון

שאלה 4 מספר הלקוחות הנכנסים לחנות מכשירי-חשמל במשך שעה, הוא משתנה מקרי פואסוני עם הפרמטר 50. ההסתברות שלקוח שנכנס לחנות, יקנה בה מוצר כלשהו היא 0.2 באופן בלתי תלוי בלקוחות אחרים. א. (6 נק') מהי ההסתברות שבמשך חצי-שעה ייכנסו לחנות 18 לקוחות? ב. (6 נק') מהי ההסתברות שבין הלקוחות, הנכנסים לחנות במשך שעתיים, יהיו בדיוק 20 שייקנו בה מוצר כלשהו? ג. (7 נק') אם ידוע שבמשך שעה אחת נכנסו לחנות 40 לקוחות, מהי ההסתברות ש-7 מהם ייקנו בה מוצר כלשהו? ד. (6 נק') הגעתם עכשיו לחנות, מה ההסתברות שהלקוח הבא יגיע לפחות 2 דקות אחריכם?

רמז: זכרו כיצד פרמטר התפלגות פואסון משתנה עם שינוי במשך הזמן, ומהי ההתפלגות של מספר ה"הצלחות" מתוך סך אירועי פואסון. כמו כן, זכרו מהי ההתפלגות של הזמן בין אירועים עוקבים בתהליך.

פתרון: נסמן ב-$N_t$ את מספר הלקוחות הנכנסים לחנות בפרק זמן של $t$ שעות. נתון ש-$N_1 \sim \text{Poisson}(\lambda=50)$. זהו **תהליך פואסון** עם קצב $\lambda = 50$ לקוחות בשעה. **א.** בסעיף זה, אנו מתעניינים במספר הלקוחות שנכנסים לחנות במשך חצי שעה, כלומר $t=0.5$. בתהליך פואסון עם קצב $\lambda$, מספר המאורעות בפרק זמן $t$ מתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda t$. לכן, מספר הלקוחות בחצי שעה, $N_{0.5}$, מתפלג $\text{Poisson}(50 \cdot 0.5) = \text{Poisson}(25)$. אנו רוצים לחשב את ההסתברות ש-$N_{0.5} = 18$. נוסחת ההסתברות של **התפלגות פואסון** $X \sim \text{Poisson}(\mu)$ היא: $P(X=k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}$ במקרה שלנו, $\mu=25$ ו-$k=18$. $P(N_{0.5}=18) = \frac{e^{-25} 25^{18}}{18!}$ **ב.** בסעיף זה, אנו מתעניינים במספר הלקוחות שקונים מוצר במשך שעתיים. ראשית, נחשב את התפלגות מספר הלקוחות שנכנסים לחנות במשך שעתיים, $N_2$. $N_2 \sim \text{Poisson}(50 \cdot 2) = \text{Poisson}(100)$. כל לקוח קונה מוצר בהסתברות $p=0.2$, באופן בלתי תלוי באחרים. נסמן ב-$K$ את מספר הלקוחות שקונים מוצר במשך שעתיים. זוהי דוגמה ל**פיצול (thinning) של תהליך פואסון**. אם מספר המאורעות הכולל מתפלג $\text{Poisson}(\mu)$, וכל מאורע מסווג כ"הצלחה" בהסתברות $p$ באופן בלתי תלוי, אז מספר ה"הצלחות" מתפלג $\text{Poisson}(\mu p)$. במקרה שלנו, $\mu=100$ ו-$p=0.2$. לכן, מספר הלקוחות הקונים, $K$, מתפלג: $K \sim \text{Poisson}(100 \cdot 0.2) = \text{Poisson}(20)$ אנו רוצים לחשב את ההסתברות ש-$K=20$. $P(K=20) = \frac{e^{-20} 20^{20}}{20!}$ **ג.** בסעיף זה, נתון שבמשך שעה אחת נכנסו לחנות 40 לקוחות, כלומר $N_1=40$. אנו רוצים למצוא את ההסתברות ש-7 מהם קנו מוצר. זוהי **הסתברות מותנית**. נסמן ב-$B$ את מספר הלקוחות הקונים מתוך 40 הלקוחות שנכנסו. בהינתן שמספר הלקוחות שנכנסו הוא קבוע, $n=40$, וכל אחד מהם קונה באופן בלתי תלוי בהסתברות $p=0.2$, מספר הקונים מתפלג בינומית. $B | (N_1=40) \sim \text{Binomial}(n=40, p=0.2)$ נוסחת ההסתברות של **התפלגות בינומית** $X \sim \text{Binomial}(n,p)$ היא: $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ במקרה שלנו, $n=40, k=7, p=0.2$. $P(B=7 | N_1=40) = \binom{40}{7} (0.2)^7 (1-0.2)^{40-7} = \binom{40}{7} (0.2)^7 (0.8)^{33}$ **ד.** בסעיף זה, אנו מתעניינים בזמן ההמתנה עד להגעת הלקוח הבא. הזמן בין הגעות עוקבות בתהליך פואסון עם קצב $\lambda$ מתפלג **מעריכית** עם פרמטר $\lambda$. קצב ההגעה הוא $\lambda = 50$ לקוחות בשעה. נמיר את היחידות לדקות: $\lambda' = \frac{50 \text{ לקוחות}}{60 \text{ דקות}} = \frac{5}{6} \text{ לקוחות לדקה}$ נסמן ב-$T$ את הזמן (בדקות) עד להגעת הלקוח הבא. $T \sim \text{Exponential}(\lambda' = 5/6)$. אחת התכונות המרכזיות של תהליך פואסון (והתפלגות מעריכית) היא **חוסר הזיכרון**. לכן, הזמן מהרגע שהגענו ועד להגעת הלקוח הבא מתפלג גם הוא $\text{Exponential}(5/6)$. אנו רוצים לחשב את ההסתברות שהלקוח הבא יגיע לפחות 2 דקות אחרינו, כלומר $P(T \ge 2)$. עבור משתנה מקרי $T \sim \text{Exponential}(\lambda')$, פונקציית ההישרדות היא: $P(T \ge t) = e^{-\lambda' t}$ במקרה שלנו, $t=2$ ו-$\lambda' = 5/6$. $P(T \ge 2) = e^{-(5/6) \cdot 2} = e^{-10/6} = e^{-5/3}$ $\blacksquare$