שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - משתנה מקרי בדיד

יעל ושמעון משחקים את המשחק הבא: בכל סיבוב משחק 1. יעל מטילה מטבע הוגן. אם התוצאה H יעל מקבלת נקודה ואחרת שתי נקודות. 2. אם תוצאת ההטלה של יעל הייתה H שמעון מטיל קובייה הוגנת עם 6 פאות. שמעון מקבל נקודות לפי תוצאת הטלת הקובייה. אם תוצאת ההטלה של יעל הייתה T שמעון לא מטיל את הקובייה. מספר הסיבובים המשוחקים $K$ נקבע לפני תחילת המשחק. המנצח במשחק הוא מי שהגיע למספר הנקודות הגבוה יותר. אם מספר הנקודות שווה אין מנצח למשחק. נסמן ב-$X$ את מספר הנקודות של שמעון. נסמן ב-$Y$ את מספר הנקודות של יעל. סעיף א: (9 נק') חשב את $E(X), Var(X)$ ואת $E(Y)$ בהנחה ש-$K=5$. סעיף ב: (8 נק') הוכח כי ההסתברות ששמעון ינצח בהפרש של 2 נקודות לפחות את יעל היא לכל היותר $\frac{5}{8}$, בהנחה ש-$K=5$. סעיף ג: (8 נק') מה צריך להיות ערכו המינמלי של $K$, מספר הסיבובים, בכדי ששמעון יצבור 20 נקודות לפחות בהסתברות של 0.5 בקירוב?

רמז: הגדירו משתנים מקריים עבור סיבוב משחק בודד וחשבו את תכונותיהם. עבור סעיף ב', השתמשו בהתניה על מספר תוצאות H. עבור סעיף ג', השתמשו במשפט הגבול המרכזי.

פתרון: ### סעיף א נסמן ב-$X_i$ ו-$Y_i$ את מספר הנקודות של שמעון ויעל, בהתאמה, בסיבוב ה-$i$. סך הנקודות של כל אחד לאחר $K=5$ סיבובים הם $X = \sum_{i=1}^5 X_i$ ו-$Y = \sum_{i=1}^5 Y_i$. הסיבובים הם ניסויים בלתי תלויים ושווי התפלגות (i.i.d), ולכן מספיק לחשב את **התוחלת** וה**שונות** עבור סיבוב בודד. **חישוב E(Y):** עבור סיבוב בודד, יעל מקבלת נקודה אחת אם המטבע הוא H (בהסתברות 0.5) ושתי נקודות אם הוא T (בהסתברות 0.5). לכן התוחלת של $Y_1$ היא: $E(Y_1) = 1 \cdot P(\text{H}) + 2 \cdot P(\text{T}) = 1 \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.5 = 1.5$ בזכות **לינאריות התוחלת**: $E(Y) = E(\sum_{i=1}^5 Y_i) = \sum_{i=1}^5 E(Y_i) = 5 \cdot E(Y_1) = 5 \cdot 1.5 = 7.5$ **חישוב E(X):** עבור סיבוב בודד, שמעון מקבל נקודות רק אם המטבע הראה H. נשתמש ב**נוסחת התוחלת השלמה**: $E(X_1) = E(X_1|\text{H})P(\text{H}) + E(X_1|\text{T})P(\text{T})$ כאשר המטבע הוא H, $X_1$ מתפלג כמו תוצאת הטלת קובייה הוגנת, שהתוחלת שלה היא $E(D) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$. כאשר המטבע הוא T, $X_1=0$. לכן: $E(X_1) = 3.5 \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = 1.75$ ושוב, מלינאריות התוחלת: $E(X) = E(\sum_{i=1}^5 X_i) = \sum_{i=1}^5 E(X_i) = 5 \cdot E(X_1) = 5 \cdot 1.75 = 8.75$ **חישוב Var(X):** מכיוון שהסיבובים בלתי תלויים, השונות של הסכום היא סכום השונויות: $Var(X) = Var(\sum_{i=1}^5 X_i) = \sum_{i=1}^5 Var(X_i) = 5 \cdot Var(X_1)$ נחשב את $Var(X_1)$ באמצעות הנוסחה $Var(X_1) = E(X_1^2) - (E(X_1))^2$. ראשית, נחשב את $E(X_1^2)$ בעזרת נוסחת התוחלת השלמה: $E(X_1^2) = E(X_1^2|\text{H})P(\text{H}) + E(X_1^2|\text{T})P(\text{T})$ $E(X_1^2|\text{H})$ היא תוחלת ריבוע תוצאת קובייה: $E(D^2) = \frac{1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2}{6} = \frac{91}{6}$. $E(X_1^2|\text{T}) = 0^2 = 0$. $E(X_1^2) = \frac{91}{6} \cdot 0.5 + 0 \cdot 0.5 = \frac{91}{12}$ כעת, השונות של $X_1$: $Var(X_1) = \frac{91}{12} - (1.75)^2 = \frac{91}{12} - (\frac{7}{4})^2 = \frac{91}{12} - \frac{49}{16} = \frac{364 - 147}{48} = \frac{217}{48}$ ולכן, השונות של X: $Var(X) = 5 \cdot \frac{217}{48} = \frac{1085}{48} \approx 22.604$ ### סעיף ב עלינו להוכיח כי $P(X \ge Y+2) \le \frac{5}{8}$. נסמן ב-$N_H$ את מספר הפעמים שהמטבע הראה H ב-5 הטלות. $N_H$ הוא **משתנה מקרי** בעל **התפלגות בינומית** $N_H \sim Bin(5, 0.5)$. הניקוד של יעל הוא $Y = 1 \cdot N_H + 2 \cdot (5-N_H) = 10-N_H$. הניקוד של שמעון הוא סכום של $N_H$ הטלות קובייה: $X = \sum_{j=1}^{N_H} D_j$, כאשר $D_j$ הן תוצאות הטלות קובייה בלתי תלויות. התנאי ששמעון ינצח בהפרש של 2 נקודות לפחות הוא $X \ge Y+2$, כלומר $\sum_{j=1}^{N_H} D_j \ge (10-N_H)+2$, או $\sum_{j=1}^{N_H} D_j \ge 12-N_H$. נשתמש ב**הסתברות מותנית** לפי ערכו של $N_H$: $P(X \ge Y+2) = \sum_{k=0}^5 P(X \ge Y+2 | N_H=k) P(N_H=k)$ ננתח את התנאי $\sum_{j=1}^k D_j \ge 12-k$ עבור כל $k$: - אם $k=0$: התנאי הוא $0 \ge 12$, שהסתברותו 0. - אם $k=1$: התנאי הוא $D_1 \ge 11$, שהסתברותו 0. - אם $k=2$: התנאי הוא $D_1+D_2 \ge 10$. התוצאות האפשריות הן (4,6), (5,5), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6) - סך הכל 6 אפשרויות מתוך 36. ההסתברות היא $6/36 = 1/6$. לכן, שמעון יכול לנצח בהפרש המבוקש רק אם $N_H \ge 2$. נוכל לחסום את ההסתברות באופן הבא: $P(X \ge Y+2) = P(X \ge Y+2 \text{ and } N_H=2) + P(X \ge Y+2 \text{ and } N_H \ge 3)$ $P(X \ge Y+2) = P(X \ge Y+2 | N_H=2)P(N_H=2) + P(X \ge Y+2 | N_H \ge 3)P(N_H \ge 3)$ נשתמש בחסם הטריוויאלי $P(X \ge Y+2 | N_H \ge 3) \le 1$. $P(X \ge Y+2) \le P(X \ge Y+2 | N_H=2)P(N_H=2) + P(N_H \ge 3)$ נחשב את ההסתברויות הבינומיות: $P(N_H=2) = \binom{5}{2}(0.5)^5 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32}$. $P(N_H \ge 3) = P(N_H=3) + P(N_H=4) + P(N_H=5) = (\binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5})(0.5)^5 = (10+5+1)/32 = 16/32 = 1/2$. נציב את הערכים בחסם: $P(X \ge Y+2) \le \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{32} + \frac{1}{2} = \frac{10}{192} + \frac{96}{192} = \frac{106}{192} = \frac{53}{96}$ נותר להראות שהחסם שמצאנו קטן או שווה ל-5/8: $\frac{53}{96} \le \frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 12}{8 \cdot 12} = \frac{60}{96}$ האי-שוויון $53/96 \le 60/96$ מתקיים, ולכן הוכחנו כי ההסתברות המבוקשת היא לכל היותר 5/8. $\blacksquare$ ### סעיף ג אנו מחפשים את ה-$K$ המינימלי כך ש-$P(X \ge 20) \approx 0.5$. כאן $X = \sum_{i=1}^K X_i$ הוא סכום של $K$ משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות. עבור $K$ גדול מספיק, ניתן להשתמש ב**משפט הגבול המרכזי** ולקרב את התפלגות $X$ להתפלגות נורמלית, $X \approx N(E(X), Var(X))$. התנאי $P(X \ge 20) \approx 0.5$ מרמז שהחציון של התפלגות $X$ קרוב ל-20. בהתפלגות נורמלית (שהיא סימטרית), החציון שווה לתוחלת. לכן, אנו מחפשים $K$ שעבורו **התוחלת** של $X$ קרובה ל-20. $E(X) = E(\sum_{i=1}^K X_i) = K \cdot E(X_1)$ מסעיף א', אנו יודעים ש-$E(X_1)=1.75$. לכן: $E(X) = 1.75K$ נשווה את התוחלת ל-20: $1.75K = 20 \implies K = \frac{20}{1.75} = \frac{20}{7/4} = \frac{80}{7} \approx 11.43$ מאחר ש-$K$ חייב להיות מספר שלם, הערכים הקרובים ביותר הם $K=11$ ו-$K=12$. מכיוון שהתוצאה 11.43 קרובה יותר ל-11, נבחר ב-$K=11$ כערך המינימלי שנותן קירוב טוב ל-0.5. נבדוק את הקירוב: - עבור $K=11$, $E(X) = 11 \cdot 1.75 = 19.25$. התוחלת קרובה ל-20, ולכן $P(X \ge 20)$ יהיה קרוב ל-0.5 (מעט מתחת). - עבור $K=12$, $E(X) = 12 \cdot 1.75 = 21$. התוחלת היא 21, ו-$P(X \ge 20)$ יהיה גדול יותר מ-0.5. השאלה מבקשת קירוב ל-0.5, ו-$K=11$ מניב תוחלת קרובה יותר ל-20, ולכן ייתן קירוב טוב יותר. לכן, הערך המינימלי של $K$ הוא 11.