שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2017

סמסטר: א

נושאים: קבל, דיאלקטריקים, קיטוב, קוואזי-סטטיקה, זרם היסט, חוק אמפר, שדה מגנטי

רמת קושי: קשה

קבל לוחות גלילי (מוליכות אינסופית) ברדיוס $R$ ומרחק $d$ בין הלוחות ($R\gg d$), מחובר למתח קבוע $V_0$ (הלוח התחתון $z=0$ מוארק). בין הלוחות שכבת דיאלקטרי בעל מקדם $\epsilon_1$ בעובי $d_1$ ($0<z<d_1$) ומעליה ריק בעובי $d-d_1$ ($d_1<z<d$). אין מטענים חופשיים בדיאלקטרי; השדות מחוץ להתקן אפס. **א.** רשמו את תנאי המעבר לחלק האנכי והמשיקי של $\vec E$ ב-$z=d$ וב-$z=d_1$. **ב.** מצאו את $\vec E$ ואת $\vec D$ בהתקן. **ג.** מהו וקטור הפולריזציה $\vec P$ בדיאלקטרי? **ד.** מצאו את מטען הקיטוב המשטחי $\rho_{S,P}$ על השפה העליונה של הדיאלקטרי ($z=d_1$) ועל שפתו הגלילית ($r=R$). כעת עובי הדיאלקטרי משתנה בזמן: $d_1(t)=d_1^0-\delta\cos(\omega t)$, $d_2(t)=d_2^0+\delta\cos(\omega t)$, עם $\delta\ll d_1^0,d_2^0$. ההתקן במשטר קווזי-סטטי. **ה.** מהו סוג המשטר? הסבירו. **ו.** חזרו על ב-ג עד סדר ראשון ב-$\delta$ (תלות זמנית מהצורה $A+B\cos(\omega t)$; היעזרו ב-$(1+x)^{-1}\cong1-x$). **ז.** מהי צפיפות זרם הקיטוב $\vec J_P$ בדיאלקטרי? **ח.** האם זורם זרם לאדמה מהלוח התחתון? אם כן, מהו? **ט.** מצאו בקירוב מסדר ראשון ב-$\omega$ את השדה המגנטי $\vec H$ בחלק הדיאלקטרי.

רמז: מ-$D_z$ רציף ב-$d_1$ ⇒ $E_2=\epsilon_1E_1$, ומ-$\int E\,dz=-V_0$ מקבלים שדות אחידים בכל שכבה עם $D$ רציף. $\vec P_1=\vec D-\epsilon_0\vec E_1$ (ריק ⇒ $\vec P_2=0$). המשטר EQS; לעובי משתנה פתחו ב-$\delta$ (עם $\Delta=d\epsilon_1+d_1^0(1-\epsilon_1)$), $\vec J_P=\partial_t\vec P$, ו-$\vec H$ מזרם ההיסט בחוק אמפר.

פתרון: **א.** ב-$z=d$: $E_r(z=d)=E_r^{out}=0$ (משיקי רציף), ו-$\epsilon_0E_z(d^-)=\rho_s(d)$ (מטען על הלוח). ב-$z=d_1$: $E_r(d_1^+)=E_r(d_1^-)$ (משיקי רציף), ומרציפות $D_z$ (אין מטען חופשי) $\epsilon_0E_2=\epsilon_0\epsilon_1E_1\Rightarrow E_2=\epsilon_1E_1$. **ב.** מ-$-V_0=\int_0^d E_z\,dz=E_1d_1+E_2(d-d_1)$ ו-$E_2=\epsilon_1E_1$: $$\vec E_1=-\dfrac{V_0}{d_1+\epsilon_1(d-d_1)}\hat z\ (0{<}z{<}d_1),\quad \vec E_2=-\dfrac{V_0\epsilon_1}{d_1+\epsilon_1(d-d_1)}\hat z\ (d_1{<}z{<}d),$$ והאינדוקציה רציפה ואחידה: $\vec D_1=\vec D_2=-\dfrac{V_0\epsilon_0\epsilon_1}{d_1+\epsilon_1(d-d_1)}\hat z$. **ג.** $\vec P=\vec D-\epsilon_0\vec E$: $\ \vec P_1=\dfrac{V_0\epsilon_0(1-\epsilon_1)}{d_1+\epsilon_1(d-d_1)}\hat z\ (0{<}z{<}d_1)$, ו-$\vec P_2=0$ (ריק). **ד.** על $z=d_1$: $\rho_{S,P}=-\hat z\cdot(\vec P_2-\vec P_1)=\hat z\cdot\vec P_1=\dfrac{V_0\epsilon_0(1-\epsilon_1)}{d_1+\epsilon_1(d-d_1)}$. על השפה הגלילית $r=R$: $\rho_{S,P}=\hat r\cdot\vec P=0$ (אין רכיב רדיאלי). **ה.** ההתקן קיבולי (האנרגיה החשמלית דומיננטית), ובתדר DC אין מסלול זרימה סגור — ולכן המשטר **אלקטרו-קווזי-סטטי (EQS)**. **ו.** נסמן $\Delta\equiv d\epsilon_1+d_1^0(1-\epsilon_1)$. הצבת $d_1=d_1^0-\delta\cos(\omega t)$ ופיתוח טיילור נותנים $$\vec E_1^{(0)}\approx-\dfrac{V_0}{\Delta}\!\left[1+\dfrac{(1-\epsilon_1)\delta\cos(\omega t)}{\Delta}\right]\hat z,\qquad \vec E_2^{(0)}=\epsilon_1\vec E_1^{(0)},$$ $$\vec D^{(0)}\approx-\dfrac{V_0\epsilon_0\epsilon_1}{\Delta}\!\left[1+\dfrac{(1-\epsilon_1)\delta\cos(\omega t)}{\Delta}\right]\hat z,\qquad \vec P_1^{(0)}\approx\dfrac{V_0\epsilon_0(1-\epsilon_1)}{\Delta}\!\left[1+\dfrac{(1-\epsilon_1)\delta\cos(\omega t)}{\Delta}\right]\hat z.$$ **ז.** $\vec J_P=\dfrac{\partial\vec P}{\partial t}=-\dfrac{V_0\epsilon_0(1-\epsilon_1)^2\delta\,\omega\sin(\omega t)}{\Delta^2}\hat z\quad(d_1{<}\ldots)$. **ח.** כן. מחוק אמפר (זרם היסט), הזרם הכולל דרך הלוח: $$I=-\pi R^2\dfrac{V_0\epsilon_0\epsilon_1(1-\epsilon_1)\delta\,\omega\sin(\omega t)}{\Delta^2}$$ **ט.** מחוק אמפר $2\pi rH_\phi^{(1)}=\pi r^2\dfrac{\partial D_z^{(0)}}{\partial t}$: $$\vec H^{(1)}=\dfrac{r}{2}\dfrac{V_0\epsilon_0\epsilon_1(1-\epsilon_1)\delta\,\omega\sin(\omega t)}{\Delta^2}\hat\phi$$ $\blacksquare$

קבל לוחות גלילי (מוליכות אינסופית) ברדיוס

R

ומרחק

d

בין הלוחות (

R ≫ d

), מחובר למתח קבוע

V_{0}

(הלוח התחתון

z = 0

מוארק). בין הלוחות שכבת דיאלקטרי בעל מקדם

ϵ_{1}

בעובי

d_{1}

(

0 < z < d_{1}

) ומעליה ריק בעובי

d - d_{1}

(

d_{1} < z < d

). אין מטענים חופשיים בדיאלקטרי; השדות מחוץ להתקן אפס.

א. רשמו את תנאי המעבר לחלק האנכי והמשיקי של

E

ב-

z = d

וב-

z = d_{1}

.

ב. מצאו את

E

ואת

D

בהתקן.

ג. מהו וקטור הפולריזציה

P

בדיאלקטרי?

ד. מצאו את מטען הקיטוב המשטחי

ρ_{S, P}

על השפה העליונה של הדיאלקטרי (

z = d_{1}

) ועל שפתו הגלילית (

r = R

).

כעת עובי הדיאלקטרי משתנה בזמן:

d_{1} (t) = d_{1}^{0} - δ cos (ω t)

d_{2} (t) = d_{2}^{0} + δ cos (ω t)

, עם

δ ≪ d_{1}^{0}, d_{2}^{0}

. ההתקן במשטר קווזי-סטטי.

ה. מהו סוג המשטר? הסבירו.

ו. חזרו על ב-ג עד סדר ראשון ב-

δ

(תלות זמנית מהצורה

A + B cos (ω t)

; היעזרו ב-

(1 + x)^{- 1} ≅ 1 - x

).

ז. מהי צפיפות זרם הקיטוב

J_{P}

בדיאלקטרי?

ח. האם זורם זרם לאדמה מהלוח התחתון? אם כן, מהו?

ט. מצאו בקירוב מסדר ראשון ב-

ω

את השדה המגנטי

H

בחלק הדיאלקטרי.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב, חלק 2 · 2017 · סמסטר א

★★★★★

קבלדיאלקטריקיםקיטובקוואזי-סטטיקהזרם היסטחוק אמפרשדה מגנטי

מ-

D_{z}

רציף ב-

d_{1}

⇒

E_{2} = ϵ_{1} E_{1}

, ומ-

\int E d z = - V_{0}

מקבלים שדות אחידים בכל שכבה עם

D

רציף.

P_{1} = D - ϵ_{0} E_{1}

(ריק ⇒

P_{2} = 0

). המשטר EQS; לעובי משתנה פתחו ב-

δ

(עם

Δ = d ϵ_{1} + d_{1}^{0} (1 - ϵ_{1})

J_{P} = \partial_{t} P

, ו-

H

מזרם ההיסט בחוק אמפר.

א. ב-

z = d

E_{r} (z = d) = E_{r}^{o u t} = 0

(משיקי רציף), ו-

ϵ_{0} E_{z} (d^{-}) = ρ_{s} (d)

(מטען על הלוח). ב-

z = d_{1}

E_{r} (d_{1}^{+}) = E_{r} (d_{1}^{-})

(משיקי רציף), ומרציפות

D_{z}

(אין מטען חופשי)

ϵ_{0} E_{2} = ϵ_{0} ϵ_{1} E_{1} \Rightarrow E_{2} = ϵ_{1} E_{1}

.

ב. מ-

- V_{0} = \int_{0}^{d} E_{z} d z = E_{1} d_{1} + E_{2} (d - d_{1})

ו-

E_{2} = ϵ_{1} E_{1}

E_{1} = - \frac{V _{0}}{d _{1} + ϵ _{1} ( d - d _{1} )} \overset{z}{^} (0 < z < d_{1}), E_{2} = - \frac{V _{0} ϵ _{1}}{d _{1} + ϵ _{1} ( d - d _{1} )} \overset{z}{^} (d_{1} < z < d),

והאינדוקציה רציפה ואחידה:

D_{1} = D_{2} = - \frac{V _{0} ϵ _{0} ϵ _{1}}{d _{1} + ϵ _{1} ( d - d _{1} )} \overset{z}{^}

.

ג.

P = D - ϵ_{0} E

P_{1} = \frac{V _{0} ϵ _{0} ( 1 - ϵ _{1} )}{d _{1} + ϵ _{1} ( d - d _{1} )} \overset{z}{^} (0 < z < d_{1})

, ו-

P_{2} = 0

(ריק).

ד. על

z = d_{1}

ρ_{S, P} = - \overset{z}{^} \cdot (P_{2} - P_{1}) = \overset{z}{^} \cdot P_{1} = \frac{V _{0} ϵ _{0} ( 1 - ϵ _{1} )}{d _{1} + ϵ _{1} ( d - d _{1} )}

. על השפה הגלילית

r = R

ρ_{S, P} = \overset{r}{^} \cdot P = 0

(אין רכיב רדיאלי).

ה. ההתקן קיבולי (האנרגיה החשמלית דומיננטית), ובתדר DC אין מסלול זרימה סגור — ולכן המשטר אלקטרו-קווזי-סטטי (EQS).

ו. נסמן

Δ \equiv d ϵ_{1} + d_{1}^{0} (1 - ϵ_{1})

. הצבת

d_{1} = d_{1}^{0} - δ cos (ω t)

ופיתוח טיילור נותנים

E_{1}^{(0)} \approx - \frac{V _{0}}{Δ} [1 + \frac{( 1 - ϵ _{1} ) δ cos ( ω t )}{Δ}] \overset{z}{^}, E_{2}^{(0)} = ϵ_{1} E_{1}^{(0)},

D^{(0)} \approx - \frac{V _{0} ϵ _{0} ϵ _{1}}{Δ} [1 + \frac{( 1 - ϵ _{1} ) δ cos ( ω t )}{Δ}] \overset{z}{^}, P_{1}^{(0)} \approx \frac{V _{0} ϵ _{0} ( 1 - ϵ _{1} )}{Δ} [1 + \frac{( 1 - ϵ _{1} ) δ cos ( ω t )}{Δ}] \overset{z}{^} .

ז.

J_{P} = \frac{\partial P}{\partial t} = - \frac{V _{0} ϵ _{0} ( 1 - ϵ _{1} ) ^{2} δ ω sin ( ω t )}{Δ ^{2}} \overset{z}{^} (d_{1} < \dots)

.

ח. כן. מחוק אמפר (זרם היסט), הזרם הכולל דרך הלוח:

I = - π R^{2} \frac{V _{0} ϵ _{0} ϵ _{1} ( 1 - ϵ _{1} ) δ ω sin ( ω t )}{Δ ^{2}}

ט. מחוק אמפר

2 π r H_{ϕ}^{(1)} = π r^{2} \frac{\partial D _{z}^{(0)}}{\partial t}

H^{(1)} = \frac{r}{2} \frac{V _{0} ϵ _{0} ϵ _{1} ( 1 - ϵ _{1} ) δ ω sin ( ω t )}{Δ ^{2}} \hat{ϕ}

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017 - קבל