שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - התפלגות נורמלית

התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח ירוק היא נורמלית עם תוחלת 100 וסטיית-תקן 10. התפלגות המשקל (בגרמים) של תפוח אדום היא נורמלית עם תוחלת 150 וסטיית-תקן 20. אין תלות בין משקלים של תפוחים שונים. א. יעל הולכת לירקן כדי לקנות 10 תפוחים – 5 תפוחים ירוקים ו- 5 תפוחים אדומים. היא בוחרת באקראי את כל התפוחים: תחילה את התפוחים הירוקים ואחר-כך את האדומים, ושמה את כולם בשקית אחת. .1 מהי ההסתברות שכל אחד מ10 התפוחים שיעל בוחרת שוקל בין 100 גרם ל- 150 גרם? .2 בהנחה שמשקל השקית הריקה זניח: מהי סטיית התקן של המשקל הכולל של כלל התפוחים בשקית? .3 מה ההסתברות שיהיה בדיוק תפוח אחד מתוך 10 התפוחים ששוקל מתחת ל- 130 גרם? ב. יעל מחליטה לאפות עוגת תפוחים. לשם כך, היא זקוקה ל3 תפוחים ירוקים שמשקל כל אחד מהם גבוה מ111 גרם, ול3 תפוחים אדומים שמשקל כל אחד מהם נמוך מ143 גרם. יעל מתחילה לבחור באקראי תפוחים ירוקים, ושוקלת אותם אחד-אחד עד למציאת מבוקשה. אחר-כך היא בוחרת באותו אופן את התפוחים האדומים שלהם היא זקוקה. מהי תוחלת מספר התפוחים שיעל תשקול עד למציאת כל התפוחים הדרושים לה לאפיית העוגה? בסעיף זה הניחו שאין הגבלה למספר התפוחים (מכל צבע) ברשות יעל.

רמז: בסעיף א', תקננו את המשתנים המקריים הנורמליים כדי לחשב את ההסתברויות עבור תפוח בודד, והשתמשו באי-תלות. בסעיף ב', זהו את ההתפלגות המתאימה למספר הניסיונות הנדרש עד לקבלת מספר הצלחות קבוע.

פתרון: נסמן את משקל תפוח ירוק ב-$X$ ואת משקל תפוח אדום ב-$Y$. לפי נתוני השאלה: $X \sim N(\mu_X=100, \sigma_X^2=10^2)$ $Y \sim N(\mu_Y=150, \sigma_Y^2=20^2)$ משקלי התפוחים השונים הם בלתי תלויים. נסמן ב-$Z \sim N(0,1)$ משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי, ופונקציית ההתפלגות המצטברת שלו היא $\Phi(z) = P(Z \le z)$. **א.1.** אנו מחפשים את ההסתברות שכל 5 התפוחים הירוקים וכל 5 התפוחים האדומים שוקלים בין 100 גרם ל-150 גרם. נסמן ב-$X_1, \dots, X_5$ את משקלי 5 התפוחים הירוקים, וב-$Y_1, \dots, Y_5$ את משקלי 5 התפוחים האדומים. בגלל **אי-התלות** בין משקלי התפוחים, ההסתברות המבוקשת היא: $$ P\left(\left(\bigcap_{i=1}^5 \{100 < X_i < 150\}\right) \cap \left(\bigcap_{j=1}^5 \{100 < Y_j < 150\}\right)\right) = \left(P(100 < X < 150)\right)^5 \cdot \left(P(100 < Y < 150)\right)^5 $$ נחשב כל אחת מההסתברויות בנפרד על ידי **תקנון** המשתנה המקרי: עבור תפוח ירוק ($X$): $$ P(100 < X < 150) = P\left(\frac{100 - 100}{10} < \frac{X - 100}{10} < \frac{150 - 100}{10}\right) = P(0 < Z < 5) $$ $$ = \Phi(5) - \Phi(0) = \Phi(5) - 0.5 $$ עבור תפוח אדום ($Y$): $$ P(100 < Y < 150) = P\left(\frac{100 - 150}{20} < \frac{Y - 150}{20} < \frac{150 - 150}{20}\right) = P(-2.5 < Z < 0) $$ $$ = \Phi(0) - \Phi(-2.5) = 0.5 - (1 - \Phi(2.5)) = \Phi(2.5) - 0.5 $$ ההסתברות הכוללת היא: $$ \left( \Phi(5) - 0.5 \right)^5 \cdot \left( \Phi(2.5) - 0.5 \right)^5 \approx (0.5)^5 \cdot (0.9938 - 0.5)^5 = (0.5)^5 \cdot (0.4938)^5 \approx 0.00088 $$ **א.2.** נסמן את המשקל הכולל של התפוחים בשקית ב-$W$. $$ W = \sum_{i=1}^5 X_i + \sum_{j=1}^5 Y_j $$ היות והמשתנים המקריים בלתי תלויים, ה**שונות** של הסכום היא סכום השונויות: $$ Var(W) = Var\left(\sum_{i=1}^5 X_i + \sum_{j=1}^5 Y_j\right) = \sum_{i=1}^5 Var(X_i) + \sum_{j=1}^5 Var(Y_j) $$ $$ = 5 \cdot Var(X) + 5 \cdot Var(Y) = 5 \cdot 10^2 + 5 \cdot 20^2 = 5 \cdot 100 + 5 \cdot 400 = 500 + 2000 = 2500 $$ **סטיית התקן** של המשקל הכולל היא השורש הריבועי של השונות: $$ \sigma_W = \sqrt{Var(W)} = \sqrt{2500} = 50 $$ **א.3.** אנו רוצים למצוא את ההסתברות שבדיוק תפוח אחד מתוך ה-10 שוקל פחות מ-130 גרם. נגדיר "הצלחה" עבור תפוח אם משקלו קטן מ-130 גרם. ההסתברות להצלחה עבור תפוח ירוק היא: $$ p_G = P(X < 130) = P\left(Z < \frac{130 - 100}{10}\right) = P(Z < 3) = \Phi(3) $$ ההסתברות להצלחה עבור תפוח אדום היא: $$ p_R = P(Y < 130) = P\left(Z < \frac{130 - 150}{20}\right) = P(Z < -1) = \Phi(-1) $$ נסמן ב-$K_G$ את מספר התפוחים הירוקים ששוקלים פחות מ-130 גרם, וב-$K_R$ את מספר התפוחים האדומים. $K_G \sim Bin(n=5, p=p_G)$ ו-$K_R \sim Bin(n=5, p=p_R)$. אנו רוצים לחשב את $P(K_G + K_R = 1)$. מאורע זה מתרחש בשני מקרים זרים: 1. תפוח ירוק אחד הוא "הצלחה" וכל האדומים הם "כישלון": $K_G=1, K_R=0$. 2. כל התפוחים הירוקים הם "כישלון" ותפוח אדום אחד הוא "הצלחה": $K_G=0, K_R=1$. בגלל אי-תלות בין בחירת התפוחים הירוקים והאדומים, ההסתברות היא: $$ P(K_G+K_R=1) = P(K_G=1, K_R=0) + P(K_G=0, K_R=1) = P(K_G=1)P(K_R=0) + P(K_G=0)P(K_R=1) $$ נחשב כל איבר: $P(K_G=1) = \binom{5}{1} p_G^1 (1-p_G)^4 = 5\Phi(3)(1-\Phi(3))^4$ $P(K_G=0) = \binom{5}{0} p_G^0 (1-p_G)^5 = (1-\Phi(3))^5$ $P(K_R=1) = \binom{5}{1} p_R^1 (1-p_R)^4 = 5\Phi(-1)(1-\Phi(-1))^4 = 5\Phi(-1)\Phi(1)^4$ $P(K_R=0) = \binom{5}{0} p_R^0 (1-p_R)^5 = (1-\Phi(-1))^5 = \Phi(1)^5$ נציב ונקבל: $$ P(K_G+K_R=1) = 5\Phi(3)(1-\Phi(3))^4 \Phi(1)^5 + (1-\Phi(3))^5 \cdot 5\Phi(-1)\Phi(1)^4 $$ **ב.** יעל זקוקה ל-3 תפוחים ירוקים שמשקלם גבוה מ-111 גרם (הצלחה "ירוקה") ול-3 תפוחים אדומים שמשקלם נמוך מ-143 גרם (הצלחה "אדומה"). נסמן ב-$N_G$ את מספר התפוחים הירוקים שיעל שוקלת עד שתמצא 3 מתאימים, וב-$N_R$ את מספר התפוחים האדומים. המספר הכולל של התפוחים שתישקל הוא $N = N_G + N_R$. בשל **לינאריות התוחלת**, $E[N] = E[N_G] + E[N_R]$. התהליך של מציאת תפוחים מתאימים הוא תהליך של ניסויי ברנולי עד לקבלת $r$ הצלחות. מספר הניסויים הכולל במקרה כזה מתפלג **התפלגות בינומית שלילית**. עבור משתנה מקרי $K \sim NB(r,p)$ (מספר הניסיונות עד להצלחה ה-$r$-ית), התוחלת היא $E[K] = r/p$. נחשב את הסתברויות ההצלחה: הסתברות הצלחה לתפוח ירוק: $$ p_G' = P(X > 111) = P\left(Z > \frac{111 - 100}{10}\right) = P(Z > 1.1) = 1 - \Phi(1.1) $$ מספר התפוחים הירוקים שיש לשקול $N_G$ מתפלג $NB(r=3, p=p_G')$, ולכן תוחלתו: $$ E[N_G] = \frac{3}{p_G'} = \frac{3}{1 - \Phi(1.1)} $$ הסתברות הצלחה לתפוח אדום: $$ p_R' = P(Y < 143) = P\left(Z < \frac{143 - 150}{20}\right) = P(Z < -0.35) = \Phi(-0.35) $$ מספר התפוחים האדומים שיש לשקול $N_R$ מתפלג $NB(r=3, p=p_R')$, ולכן תוחלתו: $$ E[N_R] = \frac{3}{p_R'} = \frac{3}{\Phi(-0.35)} $$ התוחלת הכוללת של מספר התפוחים שיעל תשקול היא: $$ E[N] = E[N_G] + E[N_R] = \frac{3}{1 - \Phi(1.1)} + \frac{3}{\Phi(-0.35)} $$ נחשב את הערך המספרי: $\Phi(1.1) \approx 0.8643$, $\Phi(-0.35) = 1 - \Phi(0.35) \approx 1-0.6368 = 0.3632$. $$ E[N] \approx \frac{3}{1 - 0.8643} + \frac{3}{0.3632} = \frac{3}{0.1357} + \frac{3}{0.3632} \approx 22.11 + 8.26 = 30.37 $$ תוחלת מספר התפוחים שיעל תשקול היא כ-30.37. $\blacksquare$