שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2023 - הסתברות

עבור המאורעות $A$, $B$, ו-$C$ הנמצאים במרחב המדגם $\Omega$, נתון כי: $A \cap B = \emptyset$, $A \cup C = \Omega$. כמו כן נתון: $0 < P(A) < P(B) < P(C) < 1$. מה ייתכן? א. $P(B \cup C) = 1$ ב. $P(B \cap C) = 0$ ג. $A \cap C = A$ ד. $B \cap C = B$

רמז: מהנתונים: $A \cap B = \emptyset$ (A ו-B זרים), $A \cup C = \Omega$ (A ו-C מכסים הכל). מ-$A \cup C = \Omega$ נובע ש-$\bar{A} \subseteq C$. מ-$A \cap B = \emptyset$ נובע ש-$B \subseteq \bar{A}$. לכן $B \subseteq C$, ומכאן $B \cap C = B$.

פתרון: **ד. $B \cap C = B$** מהנתונים: - $A \cap B = \emptyset$ → $B \subseteq \bar{A}$ - $A \cup C = \Omega$ → $\bar{A} \subseteq C$ משרשור: $B \subseteq \bar{A} \subseteq C$, כלומר $B \subseteq C$. לכן $B \cap C = B$ ✓ בדיקת שאר האפשרויות: - א. $P(B \cup C) = 1$: לא בהכרח. ייתכן שחלק מ-$A$ לא נמצא ב-$B \cup C$. - ב. $P(B \cap C) = 0$: שגוי, כי הוכחנו ש-$B \cap C = B$ ו-$P(B) > 0$. - ג. $A \cap C = A$: זה אומר $A \subseteq C$, אבל לא בהכרח. ייתכן שחלק מ-$A$ לא נמצא ב-$C$ (למרות ש-$A \cup C = \Omega$).