שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2022 - התפלגות משותפת

על השולחן בחדרו של השף המדופלם טרה-מיסו ערימה של 8 דפי מתכונים מסודרים לפי הסדר הבא: 2 מנות פתיחה, 4 מנות עיקריות ו-2 קינוחים. כל מתכון בדף נפרד. הסו-שף סברינה התגנבה לחדרו, הציצה בדפי המתכונים, וכששמעה אותו מתקרב, החזירה אותם בסדר אקראי לערימת הדפים (כל הסידורים האפשריים שווי הסתברות). נגדיר את שני המשתנים המקריים הבאים: $X$ – מספר הדפים מבין 3 הדפים העליונים בערימה בהם מופיע מתכון של מנת פתיחה, וזאת לאחר הסידור האקראי של סברינה. $Y$ – מספר סוגי המנות השונים (פתיחה/עיקרית/קינוח) מבין 3 הדפים העליונים בערימה, וזאת לאחר הסידור האקראי של סברינה. (א) מצאו את פונקציית ההסתברות המשותפת ופונקציות ההסתברות השוליות של $X$ ו-$Y$. (ב) חשבו את $\rho(X, Y)$. (ג) חשבו את $E\left[\frac{X}{Y}\right]$.

רמז: כדי למצוא את פונקציית ההסתברות המשותפת, יש לספור את מספר האפשרויות לבחירת 3 הדפים העליונים עבור כל זוג ערכים אפשרי $(x,y)$, ולחלק בגודל מרחב המדגם הכולל.

פתרון: בשאלה זו אנו מתמודדים עם בחירה אקראית של 3 דפים מתוך 8, כאשר כל בחירה היא שוות הסתברות. בסך הכל ישנם 8 דפים: 2 מנות פתיחה (פ), 4 מנות עיקריות (ע) ו-2 קינוחים (ק). מרחב המדגם שלנו הוא כל קבוצות הדפים בנות 3 דפים שניתן לבחור מתוך ה-8. גודל מרחב המדגם הוא: $$ |\Omega| = \binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56 $$ כל אחת מ-56 קבוצות הדפים האפשריות היא בעלת הסתברות שווה להיבחר כשלישייה הפותחת. המשתנים המקריים הם: $X$: מספר דפי מנות הפתיחה (פ) מבין 3 הדפים העליונים. ערכים אפשריים: $\{0, 1, 2\}$. $Y$: מספר סוגי המנות השונים (פ/ע/ק) מבין 3 הדפים העליונים. ערכים אפשריים: $\{1, 2, 3\}$. **(א) פונקציית ההסתברות המשותפת והשוליות** נחשב את **פונקציית ההסתברות המשותפת** $p_{X,Y}(x,y) = P(X=x, Y=y)$ לכל זוג ערכים אפשרי $(x,y)$. **עבור $X=0$ (אין מנות פתיחה):** בוחרים 3 דפים מתוך 6 הדפים שאינם מנות פתיחה (4ע, 2ק). - $P(X=0, Y=1)$: שלושת הדפים מאותו סוג. זה אפשרי רק אם שלושתם הם מנות עיקריות (ע), כי יש רק 2 קינוחים. מספר האפשרויות לבחור 3 מנות עיקריות מתוך 4 הוא $\binom{4}{3}=4$. $$ P(X=0, Y=1) = \frac{\binom{4}{3}\binom{2}{0}}{\binom{8}{3}} = \frac{4}{56} = \frac{1}{14} $$ - $P(X=0, Y=2)$: שלושת הדפים משני סוגים (עיקריות וקינוחים). האפשרויות הן (2ע, 1ק) או (1ע, 2ק). מספר האפשרויות הוא $\binom{4}{2}\binom{2}{1} + \binom{4}{1}\binom{2}{2} = 6 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 16$. $$ P(X=0, Y=2) = \frac{16}{56} = \frac{2}{7} $$ - $P(X=0, Y=3) = 0$, כי ללא מנות פתיחה ישנם רק שני סוגי מנות אפשריים. **עבור $X=1$ (מנת פתיחה אחת):** בוחרים מנת פתיחה אחת מתוך 2, ושני דפים נוספים מתוך 6 הדפים האחרים (4ע, 2ק). - $P(X=1, Y=1) = 0$, כי אם יש מנת פתיחה אחת, חייב להיות לפחות סוג אחד נוסף. - $P(X=1, Y=2)$: מנת פתיחה אחת ושני דפים נוספים מאותו סוג. האפשרויות הן (1פ, 2ע) או (1פ, 2ק). מספר האפשרויות הוא $\binom{2}{1}\binom{4}{2} + \binom{2}{1}\binom{2}{2} = 2 \cdot 6 + 2 \cdot 1 = 14$. $$ P(X=1, Y=2) = \frac{14}{56} = \frac{1}{4} $$ - $P(X=1, Y=3)$: שלושה דפים משלושה סוגים שונים. כלומר (1פ, 1ע, 1ק). מספר האפשרויות הוא $\binom{2}{1}\binom{4}{1}\binom{2}{1} = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$. $$ P(X=1, Y=3) = \frac{16}{56} = \frac{2}{7} $$ **עבור $X=2$ (שתי מנות פתיחה):** בוחרים שתי מנות פתיחה מתוך 2, ודף נוסף מתוך 6 הדפים האחרים. - $P(X=2, Y=1) = 0$, כי חייב להיות סוג נוסף. - $P(X=2, Y=2)$: שתי מנות פתיחה ודף נוסף מסוג אחר. האפשרויות הן (2פ, 1ע) או (2פ, 1ק). מספר האפשרויות הוא $\binom{2}{2}\binom{4}{1} + \binom{2}{2}\binom{2}{1} = 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 = 6$. $$ P(X=2, Y=2) = \frac{6}{56} = \frac{3}{28} $$ - $P(X=2, Y=3) = 0$, כי נותר מקום רק לדף אחד נוסף, ולכן רק לסוג אחד נוסף. נרכז את התוצאות בטבלת **ההתפלגות המשותפת**: | $Y \setminus X$ | 0 | 1 | 2 | $p_Y(y)$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | **1** | $\frac{4}{56}$ | 0 | 0 | $\frac{4}{56} = \frac{1}{14}$ | | **2** | $\frac{16}{56}$ | $\frac{14}{56}$ | $\frac{6}{56}$ | $\frac{36}{56} = \frac{9}{14}$ | | **3** | 0 | $\frac{16}{56}$ | 0 | $\frac{16}{56} = \frac{2}{7}$ | | **$p_X(x)$** | $\frac{20}{56} = \frac{5}{14}$ | $\frac{30}{56} = \frac{15}{28}$ | $\frac{6}{56} = \frac{3}{28}$ | 1 | **פונקציות ההסתברות השוליות** מתקבלות על ידי סיכום השורות והעמודות בטבלה: **ההתפלגות השולית של $X$**: $P(X=0) = \frac{5}{14}$ $P(X=1) = \frac{15}{28}$ $P(X=2) = \frac{3}{28}$ **ההתפלגות השולית של $Y$**: $P(Y=1) = \frac{1}{14}$ $P(Y=2) = \frac{9}{14}$ $P(Y=3) = \frac{2}{7}$ **(ב) חישוב מקדם המתאם $\rho(X, Y)$** **מקדם המתאם** מוגדר על ידי $\rho(X, Y) = \frac{\text{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$. נחשב את הרכיבים הדרושים: **תוחלות:** $$ E[X] = \sum_{x} x p_X(x) = 0 \cdot \frac{5}{14} + 1 \cdot \frac{15}{28} + 2 \cdot \frac{3}{28} = \frac{15+6}{28} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4} $$ $$ E[Y] = \sum_{y} y p_Y(y) = 1 \cdot \frac{4}{56} + 2 \cdot \frac{36}{56} + 3 \cdot \frac{16}{56} = \frac{4+72+48}{56} = \frac{124}{56} = \frac{31}{14} $$ **תוחלות של הריבועים:** $$ E[X^2] = \sum_{x} x^2 p_X(x) = 0^2 \cdot \frac{5}{14} + 1^2 \cdot \frac{15}{28} + 2^2 \cdot \frac{3}{28} = \frac{15+12}{28} = \frac{27}{28} $$ $$ E[Y^2] = \sum_{y} y^2 p_Y(y) = 1^2 \cdot \frac{4}{56} + 2^2 \cdot \frac{36}{56} + 3^2 \cdot \frac{16}{56} = \frac{4+144+144}{56} = \frac{292}{56} = \frac{73}{14} $$ **שונות (Variance):** $$ \text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{27}{28} - \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{27}{28} - \frac{9}{16} = \frac{108-63}{112} = \frac{45}{112} $$ $$ \text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{73}{14} - \left(\frac{31}{14}\right)^2 = \frac{73 \cdot 14 - 961}{196} = \frac{1022 - 961}{196} = \frac{61}{196} $$ **תוחלת המכפלה:** $$ E[XY] = \sum_{x,y} xy \cdot p_{X,Y}(x,y) = \frac{1}{56} \left( (1\cdot 2 \cdot 14) + (1\cdot 3 \cdot 16) + (2\cdot 2 \cdot 6) \right) $$ $$ E[XY] = \frac{1}{56} (28 + 48 + 24) = \frac{100}{56} = \frac{25}{14} $$ **שונות משותפת (Covariance):** $$ \text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{25}{14} - \frac{3}{4} \cdot \frac{31}{14} = \frac{25}{14} - \frac{93}{56} = \frac{100-93}{56} = \frac{7}{56} = \frac{1}{8} $$ **מקדם המתאם:** $$ \rho(X, Y) = \frac{\frac{1}{8}}{\sqrt{\frac{45}{112} \cdot \frac{61}{196}}} = \frac{1/8}{\sqrt{\frac{2745}{21952}}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{\sqrt{21952}}{\sqrt{2745}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{56\sqrt{7}}{3\sqrt{305}} = \frac{7\sqrt{7}}{3\sqrt{305}} $$ $$ \rho(X, Y) = \sqrt{\frac{49 \cdot 7}{9 \cdot 305}} = \sqrt{\frac{343}{2745}} \approx 0.353 $$ המתאם חיובי, כצפוי: ככל שיש יותר מנות פתיחה (סוג נדיר יחסית), כך גדל הסיכוי שיהיו יותר סוגי מנות בסך הכל. **(ג) חישוב $E\left[\frac{X}{Y}\right]$** נשתמש בנוסחת התוחלת של פונקציה של משתנים מקריים: $$ E\left[g(X,Y)\right] = \sum_{x,y} g(x,y) p_{X,Y}(x,y) $$ כאשר $g(X,Y) = \frac{X}{Y}$. $$ E\left[\frac{X}{Y}\right] = \sum_{x,y} \frac{x}{y} p_{X,Y}(x,y) $$ נסכום על כל המקרים בהם ההסתברות אינה אפס: $$ E\left[\frac{X}{Y}\right] = \left(\frac{0}{1} \cdot \frac{4}{56}\right) + \left(\frac{0}{2} \cdot \frac{16}{56}\right) + \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{14}{56}\right) + \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{16}{56}\right) + \left(\frac{2}{2} \cdot \frac{6}{56}\right) $$ $$ E\left[\frac{X}{Y}\right] = \frac{1}{56} \left(0 + 0 + \frac{14}{2} + \frac{16}{3} + 6\right) = \frac{1}{56} \left(7 + \frac{16}{3} + 6\right) $$ $$ E\left[\frac{X}{Y}\right] = \frac{1}{56} \left(13 + \frac{16}{3}\right) = \frac{1}{56} \left(\frac{39+16}{3}\right) = \frac{1}{56} \cdot \frac{55}{3} = \frac{55}{168} $$ $\blacksquare$