שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2026 - אי-שוויון צ'בישב

יהא $X \sim N(0,1)$ משתנה מקרי. סעיף א: (10 נק') ללא שימוש בטבלה, הוכח כי לכל $\varepsilon > 0$ מתקיים: $P(X \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq \frac{(\varepsilon+1) \cdot (\varepsilon-1)}{\varepsilon^2}$ (רמז: אי-שוויון צ'בישב). סעיף ב: (15 נק') תהא $(Y_i)_{i=1}^{\infty}$ סדרת משתנים מקרים ב"ת שווי התפלגות בעלי תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$ כך ש-$\mu = \sigma = \frac{3}{2}$. עבור כל $n \in \mathbb{N}$, נגדיר את המשתנים המקריים: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} Y_i$$ $$Z_n = S_n \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n}$$ הוכח, ללא שימוש בטבלת ההסתברות הנורמלית סטנדרטית, כי: $$\lim_{n \to \infty} P \left( Z_n \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) \geq \frac{5}{9}$$ (רמז: הראו שהמשתנה $Z_n$ בעל תוחלת 0 ושונות 1. לאחר מכן, היעזרו במשפט הגבול המרכזי כדי להראות שעבור $Z \sim N(0,1)$ מתקיים $\lim_{n \to \infty} P \left( Z_n \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) = P \left( Z \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right)$. כעת, השתמשו בסעיף א').

רמז: סעיף א' דורש שימוש ישיר באי-שוויון צ'בישב על משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי. סעיף ב' דורש לזהות את $Z_n$ כסכום מתוקנן, להשתמש במשפט הגבול המרכזי, ולאחר מכן להפעיל את התוצאה של סעיף א' על התפלגות הגבול.

פתרון: ### סעיף א: מטרתנו להוכיח כי עבור $X \sim N(0,1)$ ולכל $\varepsilon > 0$ מתקיים $P(X \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq \frac{(\varepsilon+1) \cdot (\varepsilon-1)}{\varepsilon^2}$. נשתמש ב**אי-שוויון צ'בישב**. עבור משתנה מקרי $Y$ בעל תוחלת $\mu$ ושונות $\sigma^2$, אי-השוויון קובע כי לכל $k > 0$: $$P(|Y - \mu| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}$$ או בצורת המשלים: $$P(|Y - \mu| < k) \geq 1 - \frac{\sigma^2}{k^2}$$ במקרה שלנו, המשתנה המקרי הוא $X \sim N(0,1)$, כלומר **התוחלת** היא $\mu = E[X] = 0$ ו**השונות** היא $\sigma^2 = Var(X) = 1$. המאורע $X \in (-\varepsilon, \varepsilon)$ שקול למאורע $|X| < \varepsilon$, או $|X - 0| < \varepsilon$. נציב את ערכי התוחלת והשונות של $X$ באי-שוויון צ'בישב (בצורת המשלים), כאשר $k = \varepsilon$: $$P(|X - 0| < \varepsilon) \geq 1 - \frac{1}{\varepsilon^2}$$ כעת, נפשט את אגף ימין של אי-השוויון שברצוננו להוכיח: $$\frac{(\varepsilon+1) \cdot (\varepsilon-1)}{\varepsilon^2} = \frac{\varepsilon^2 - 1}{\varepsilon^2} = \frac{\varepsilon^2}{\varepsilon^2} - \frac{1}{\varepsilon^2} = 1 - \frac{1}{\varepsilon^2}$$ כלומר, אי-שוויון צ'בישב נותן לנו בדיוק את מה שנדרשנו להוכיח: $P(X \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq 1 - \frac{1}{\varepsilon^2}$. יש לשים לב לתקפות אי-השוויון: 1. אם $\varepsilon > 1$, אז $1 - \frac{1}{\varepsilon^2}$ הוא מספר חיובי קטן מ-1, והחסם אינו טריוויאלי. 2. אם $0 < \varepsilon \leq 1$, אז $1 - \frac{1}{\varepsilon^2} \leq 0$. מכיוון שהסתברות היא תמיד אי-שלילית, כלומר $P(X \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq 0$, אי-השוויון $P(X \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq 1 - \frac{1}{\varepsilon^2}$ מתקיים באופן טריוויאלי. לכן, האי-שוויון נכון לכל $\varepsilon > 0$. $\blacksquare$ ### סעיף ב: נתונה סדרת מ"מ ב"ת שווי התפלגות $(Y_i)_{i=1}^{\infty}$ עם $\mu = E[Y_i] = \frac{3}{2}$ ו-\sigma = \sqrt{Var(Y_i)} = \frac{3}{2}, כלומר $\sigma^2 = Var(Y_i) = \frac{9}{4}$. המשתנים המקריים $S_n$ ו-$Z_n$ מוגדרים: $$S_n = \sum_{i=1}^{n} Y_i$$ $$Z_n = S_n \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n}$$ מטרתנו להוכיח כי $\lim_{n \to \infty} P \left( Z_n \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) \geq \frac{5}{9}$. נפעל בהתאם לרמז. **שלב 1: חישוב התוחלת והשונות של $Z_n$.** נחשב את התוחלת והשונות של $S_n$: $E[S_n] = E[\sum_{i=1}^{n} Y_i] = \sum_{i=1}^{n} E[Y_i] = n\mu = n \cdot \frac{3}{2}$. $Var(S_n) = Var(\sum_{i=1}^{n} Y_i) = \sum_{i=1}^{n} Var(Y_i) = n\sigma^2 = n \cdot \frac{9}{4}$ (השוויון השני נובע מאי-תלות). כעת נחשב את התוחלת והשונות של $Z_n$: $$E[Z_n] = E\left[S_n \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n}\right] = E[S_n] \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n} = \left(n \cdot \frac{3}{2}\right) \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n} = \sqrt{n} - \sqrt{n} = 0$$ $$Var(Z_n) = Var\left(S_n \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n}\right) = Var\left(S_n \cdot \frac{2}{3\sqrt{n}}\right) = \left(\frac{2}{3\sqrt{n}}\right)^2 Var(S_n) = \frac{4}{9n} \cdot \left(n \cdot \frac{9}{4}\right) = 1$$ הראינו כי לכל $n \in \mathbb{N}$, $Z_n$ הוא משתנה מקרי עם **תוחלת 0 ושונות 1**. **שלב 2: שימוש במשפט הגבול המרכזי.** נשים לב שניתן לרשום את $Z_n$ באופן הבא: $$Z_n = \frac{2S_n}{3\sqrt{n}} - \sqrt{n} = \frac{2S_n - 3n}{3\sqrt{n}} = \frac{S_n - n \cdot (3/2)}{\sqrt{n} \cdot (3/2)} = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}$$ זהו בדיוק הביטוי של **הסכום המתוקנן** של המשתנים המקריים $Y_i$. לפי **משפט הגבול המרכזי (CLT)**, סדרה זו של משתנים מקריים מתכנסת בהתפלגות למשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי. כלומר, אם $Z \sim N(0,1)$, אז $Z_n \xrightarrow{d} Z$. מכיוון שההתכנסות היא בהתפלגות, הגבול של ההסתברות שווה להסתברות על משתנה הגבול: $$\lim_{n \to \infty} P \left( Z_n \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) = P \left( Z \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right)$$ **שלב 3: שימוש בסעיף א'.** כעת נותר לנו לחסום את הביטוי $P \left( Z \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right)$ עבור $Z \sim N(0,1)$. בדיוק לשם כך הוכחנו את סעיף א'. נשתמש בתוצאה מסעיף א' עם $\varepsilon = \frac{3}{2}$: $$P(Z \in (-\varepsilon, \varepsilon)) \geq \frac{(\varepsilon+1) \cdot (\varepsilon-1)}{\varepsilon^2}$$ $$P\left(Z \in \left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\right) \geq \frac{(\frac{3}{2}+1) \cdot (\frac{3}{2}-1)}{(\frac{3}{2})^2} = \frac{(\frac{5}{2}) \cdot (\frac{1}{2})}{\frac{9}{4}} = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{5}{9}$$ **מסקנה:** שילוב של שלב 2 ושלב 3 נותן: $$\lim_{n \to \infty} P \left( Z_n \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) = P \left( Z \in \left( -\frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right) \right) \geq \frac{5}{9}$$ כנדרש. $\blacksquare$