שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2024

קורס: הסתברות

אוניברסיטה: האוניברסיטה הפתוחה

שנה: 2024

סמסטר: ב

נושאים: מרחב הסתברות, קומבינטוריקה, משתנה מקרי, משתנה מקרי בדיד, תוחלת, שונות, התפלגות אחידה, שונות משותפת, סכום משתנים מקריים

רמת קושי: בינוני

מסדרים באקראי בשורה את הספרות $1, 2, \ldots, 9$ כך שכל האפשרויות לסידורים השונים הן שוות הסתברות. לכל $i = 1, 2, \ldots, 9$, נסמן ב- $X_i$ את המשתנה המקרי המוגדר על-ידי המיקום הסידורי בשורה של הספרה $i$. למשל, אם הספרה 5 נמצאת במקום השביעי בשורה, אז $X_5 = 7$. א. (6 נק') חשבו את $P\{X_5 > 5\}$. ב. (6 נק') חשבו את השונות של $\sum_{i=1}^{8} X_i$. (שימו לב לגבול העליון של הסכימה.) ג. (13 נק') יהי $Y$ המשתנה המקרי המוגדר על-ידי כמות הספרות שעבורן מתקיים $i = X_i$. 1. חשבו את התוחלת של $Y$. 2. חשבו את השונות של $Y$.

רמז: בסעיף ב', שימו לב שהסכום $\sum_{i=1}^9 X_i$ הוא גודל קבוע. בסעיף ג', הגדירו את $Y$ כסכום של משתני אינדיקטור מתאימים.

פתרון: ### סעיף א **מרחב המדגם** $\Omega$ הוא קבוצת כל התמורות של 9 הספרות, ולכן גודלו הוא $|\Omega|=9!$. מכיוון שכל סידור הוא שווה הסתברות, ההסתברות של כל תמורה ספציפית היא $\frac{1}{9!}$. המשתנה המקרי $X_5$ מציין את המיקום של הספרה 5. נחשב את ההתפלגות של $X_5$. לכל מיקום $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$, מספר התמורות שבהן הספרה 5 נמצאת במקום ה-$k$ הוא כמספר הדרכים לסדר את 8 הספרות הנותרות ב-8 המקומות הנותרים, כלומר $8!$. לכן, ההסתברות שהספרה 5 תהיה במקום $k$ היא: $P\{X_5 = k\} = \frac{8!}{9!} = \frac{1}{9}$ מכאן של-$X_5$ יש **התפלגות אחידה בדידה** על הקבוצה $\{1, 2, \ldots, 9\}$. אנו רוצים לחשב את $P\{X_5 > 5\}$. מאורע זה מתרחש אם $X_5$ מקבל את אחד הערכים $\{6, 7, 8, 9\}$. $P\{X_5 > 5\} = P\{X_5=6\} + P\{X_5=7\} + P\{X_5=8\} + P\{X_5=9\} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$. $\blacksquare$ ### סעיף ב נשים לב לתכונה חשובה של המשתנים המקרים. לכל תמורה, קבוצת הערכים של המשתנים $\{X_1, X_2, \ldots, X_9\}$ היא בדיוק קבוצת המיקומים $\{1, 2, \ldots, 9\}$. לכן, סכום כל המשתנים הוא קבוע ואינו תלוי בתמורה הספציפית: $\sum_{i=1}^{9} X_i = \sum_{k=1}^{9} k = \frac{9(9+1)}{2} = 45$ אנו מתבקשים לחשב את השונות של $S = \sum_{i=1}^{8} X_i$. נשתמש בקשר שמצאנו כדי לבטא את $S$: $S = \sum_{i=1}^{8} X_i = \left( \sum_{i=1}^{9} X_i \right) - X_9 = 45 - X_9$ כעת, נוכל לחשב את **השונות** של $S$: $Var(S) = Var(45 - X_9) = Var(-X_9) = (-1)^2 Var(X_9) = Var(X_9)$ בדיוק כמו $X_5$ בסעיף א', גם $X_9$ מתפלג התפלגות אחידה בדידה על $\{1, 2, \ldots, 9\}$. השונות של משתנה מקרי $U$ המתפלג אחידה על $\{1, \ldots, n\}$ נתונה על ידי הנוסחה $Var(U) = \frac{n^2-1}{12}$. במקרה שלנו $n=9$, ולכן: $Var(X_9) = \frac{9^2-1}{12} = \frac{81-1}{12} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}$ לסיכום, $Var(\sum_{i=1}^{8} X_i) = \frac{20}{3}$. $\blacksquare$ ### סעיף ג #### 1. תוחלת של Y $Y$ מוגדר כמספר הספרות $i$ שעבורן מתקיים $X_i=i$. זוהי בעיית **נקודות השבת** (fixed points) בתמורה. כדי לחשב את התוחלת, נשתמש בשיטת **משתני האינדיקטור**. לכל $i=1, \ldots, 9$, נגדיר משתנה אינדיקטור $I_i$: $I_i = \begin{cases} 1 & \text{if } X_i = i \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$ אז $Y = \sum_{i=1}^{9} I_i$. על פי **לינאריות התוחלת**: $E[Y] = E[\sum_{i=1}^{9} I_i] = \sum_{i=1}^{9} E[I_i]$ התוחלת של משתנה אינדיקטור היא ההסתברות שהמאורע שהוא מייצג יתקיים: $E[I_i] = P\{I_i=1\} = P\{X_i=i\}$ כפי שראינו בסעיף א', לכל $i$ ולכל $k$, $P\{X_i=k\} = 1/9$. לכן, $P\{X_i=i\} = 1/9$. נציב זאת בביטוי לתוחלת: $E[Y] = \sum_{i=1}^{9} \frac{1}{9} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1$. $\blacksquare$ #### 2. שונות של Y נחשב את **השונות** של $Y$ באמצעות הנוסחה לשונות של סכום משתנים מקריים: $Var(Y) = Var(\sum_{i=1}^{9} I_i) = \sum_{i=1}^{9} Var(I_i) + \sum_{i \neq j} Cov(I_i, I_j)$ משיקולי סימטריה, כל המשתנים $I_i$ הם שווי התפלגות, וכל הזוגות $(I_i, I_j)$ עם $i \neq j$ הם שווי התפלגות. לכן, ניתן לכתוב: $Var(Y) = 9 \cdot Var(I_1) + 9 \cdot 8 \cdot Cov(I_1, I_2)$ נחשב כל אחד מהרכיבים: - **שונות של $I_1$**: $I_1$ הוא משתנה ברנולי עם פרמטר $p = P\{I_1=1\} = 1/9$. השונות היא: $Var(I_1) = p(1-p) = \frac{1}{9}(1 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{81}$. - **שונות משותפת של $I_1, I_2$**: $Cov(I_1, I_2) = E[I_1 I_2] - E[I_1]E[I_2]$. $E[I_1]E[I_2] = (\frac{1}{9})(\frac{1}{9}) = \frac{1}{81}$. $E[I_1 I_2] = P\{I_1=1, I_2=1\} = P\{X_1=1, X_2=2\}$. זו ההסתברות שהספרה 1 נמצאת במקום 1 וגם הספרה 2 נמצאת במקום 2. מספר התמורות המקיימות תנאי זה הוא כמספר הדרכים לסדר את $9-2=7$ הספרות הנותרות ב-7 המקומות הנותרים, כלומר $7!$. $P\{X_1=1, X_2=2\} = \frac{7!}{9!} = \frac{1}{9 \cdot 8} = \frac{1}{72}$. לכן, השונות המשותפת היא: $Cov(I_1, I_2) = \frac{1}{72} - \frac{1}{81} = \frac{9-8}{648} = \frac{1}{648}$. כעת נציב את הערכים שחישבנו בנוסחה לשונות של $Y$: $Var(Y) = 9 \cdot \frac{8}{81} + 72 \cdot \frac{1}{648} = \frac{8}{9} + \frac{72}{648}$ מכיוון ש-$648 = 9 \cdot 72$, אז $\frac{72}{648} = \frac{1}{9}$. $Var(Y) = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1$. $\blacksquare$

מסדרים באקראי בשורה את הספרות

1, 2, \dots, 9

כך שכל האפשרויות לסידורים השונים הן שוות הסתברות.

לכל

i = 1, 2, \dots, 9

, נסמן ב-

X_{i}

את המשתנה המקרי המוגדר על-ידי המיקום הסידורי בשורה של הספרה

i

.

למשל, אם הספרה 5 נמצאת במקום השביעי בשורה, אז

X_{5} = 7

.

א. (6 נק') חשבו את

P {X_{5} > 5}

.

ב. (6 נק') חשבו את השונות של

\sum_{i = 1}^{8} X_{i}

. (שימו לב לגבול העליון של הסכימה.)

ג. (13 נק') יהי

Y

המשתנה המקרי המוגדר על-ידי כמות הספרות שעבורן מתקיים

i = X_{i}

.

1. חשבו את התוחלת של

Y

.

2. חשבו את השונות של

Y

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

האוניברסיטה הפתוחהמועד ב2024סמסטר ב

★★★★★

מרחב הסתברותקומבינטוריקהמשתנה מקרימשתנה מקרי בדידתוחלתשונותהתפלגות אחידהשונות משותפתסכום משתנים מקריים

בסעיף ב', שימו לב שהסכום

\sum_{i = 1}^{9} X_{i}

הוא גודל קבוע. בסעיף ג', הגדירו את

Y

כסכום של משתני אינדיקטור מתאימים.

סעיף א

מרחב המדגם

Ω

הוא קבוצת כל התמורות של 9 הספרות, ולכן גודלו הוא

∣Ω∣ = 9!

. מכיוון שכל סידור הוא שווה הסתברות, ההסתברות של כל תמורה ספציפית היא

\frac{1}{9 !}

.

המשתנה המקרי

X_{5}

מציין את המיקום של הספרה 5. נחשב את ההתפלגות של

X_{5}

. לכל מיקום

k \in {1, 2, \dots, 9}

, מספר התמורות שבהן הספרה 5 נמצאת במקום ה-

k

הוא כמספר הדרכים לסדר את 8 הספרות הנותרות ב-8 המקומות הנותרים, כלומר

8!

.

לכן, ההסתברות שהספרה 5 תהיה במקום

k

היא:

P {X_{5} = k} = \frac{8 !}{9 !} = \frac{1}{9}

מכאן של-

X_{5}

יש התפלגות אחידה בדידה על הקבוצה

{1, 2, \dots, 9}

.

אנו רוצים לחשב את

P {X_{5} > 5}

. מאורע זה מתרחש אם

X_{5}

מקבל את אחד הערכים

{6, 7, 8, 9}

P {X_{5} > 5} = P {X_{5} = 6} + P {X_{5} = 7} + P {X_{5} = 8} + P {X_{5} = 9} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}

■

סעיף ב

נשים לב לתכונה חשובה של המשתנים המקרים. לכל תמורה, קבוצת הערכים של המשתנים

{X_{1}, X_{2}, \dots, X_{9}}

היא בדיוק קבוצת המיקומים

{1, 2, \dots, 9}

. לכן, סכום כל המשתנים הוא קבוע ואינו תלוי בתמורה הספציפית:

\sum_{i = 1}^{9} X_{i} = \sum_{k = 1}^{9} k = \frac{9 ( 9 + 1 )}{2} = 45

אנו מתבקשים לחשב את השונות של

S = \sum_{i = 1}^{8} X_{i}

. נשתמש בקשר שמצאנו כדי לבטא את

S

S = \sum_{i = 1}^{8} X_{i} = (\sum_{i = 1}^{9} X_{i}) - X_{9} = 45 - X_{9}

כעת, נוכל לחשב את השונות של

S

V a r (S) = V a r (45 - X_{9}) = V a r (- X_{9}) = (- 1)^{2} V a r (X_{9}) = V a r (X_{9})

בדיוק כמו

X_{5}

בסעיף א', גם

X_{9}

מתפלג התפלגות אחידה בדידה על

{1, 2, \dots, 9}

.
השונות של משתנה מקרי

U

המתפלג אחידה על

{1, \dots, n}

נתונה על ידי הנוסחה

V a r (U) = \frac{n ^{2} - 1}{12}

.
במקרה שלנו

n = 9

, ולכן:

V a r (X_{9}) = \frac{9 ^{2} - 1}{12} = \frac{81 - 1}{12} = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}

לסיכום,

V a r (\sum_{i = 1}^{8} X_{i}) = \frac{20}{3}

■

סעיף ג

1. תוחלת של Y

Y

מוגדר כמספר הספרות

i

שעבורן מתקיים

X_{i} = i

. זוהי בעיית נקודות השבת (fixed points) בתמורה.
כדי לחשב את התוחלת, נשתמש בשיטת משתני האינדיקטור. לכל

i = 1, \dots, 9

, נגדיר משתנה אינדיקטור

I_{i}

I_{i} = {10 if X_{i} = i otherwise

אז

Y = \sum_{i = 1}^{9} I_{i}

. על פי לינאריות התוחלת:

E [Y] = E [\sum_{i = 1}^{9} I_{i}] = \sum_{i = 1}^{9} E [I_{i}]

התוחלת של משתנה אינדיקטור היא ההסתברות שהמאורע שהוא מייצג יתקיים:

E [I_{i}] = P {I_{i} = 1} = P {X_{i} = i}

כפי שראינו בסעיף א', לכל

i

ולכל

k

P {X_{i} = k} = 1/9

. לכן,

P {X_{i} = i} = 1/9

.

נציב זאת בביטוי לתוחלת:

E [Y] = \sum_{i = 1}^{9} \frac{1}{9} = 9 \cdot \frac{1}{9} = 1

■

2. שונות של Y

נחשב את השונות של

Y

באמצעות הנוסחה לשונות של סכום משתנים מקריים:

V a r (Y) = V a r (\sum_{i = 1}^{9} I_{i}) = \sum_{i = 1}^{9} V a r (I_{i}) + \sum_{i \neq = j} C o v (I_{i}, I_{j})

משיקולי סימטריה, כל המשתנים

I_{i}

הם שווי התפלגות, וכל הזוגות

(I_{i}, I_{j})

עם

i \neq = j

הם שווי התפלגות. לכן, ניתן לכתוב:

V a r (Y) = 9 \cdot V a r (I_{1}) + 9 \cdot 8 \cdot C o v (I_{1}, I_{2})

נחשב כל אחד מהרכיבים:

שונות של $I_{1}$ : $I_{1}$ הוא משתנה ברנולי עם פרמטר $p = P {I_{1} = 1} = 1/9$ . השונות היא:

V a r (I_{1}) = p (1 - p) = \frac{1}{9} (1 - \frac{1}{9}) = \frac{1}{9} \cdot \frac{8}{9} = \frac{8}{81}

שונות משותפת של $I_{1}, I_{2}$ : $C o v (I_{1}, I_{2}) = E [I_{1} I_{2}] - E [I_{1}] E [I_{2}]$ .

E [I_{1}] E [I_{2}] = (\frac{1}{9}) (\frac{1}{9}) = \frac{1}{81}

E [I_{1} I_{2}] = P {I_{1} = 1, I_{2} = 1} = P {X_{1} = 1, X_{2} = 2}

.
זו ההסתברות שהספרה 1 נמצאת במקום 1 וגם הספרה 2 נמצאת במקום 2. מספר התמורות המקיימות תנאי זה הוא כמספר הדרכים לסדר את

9 - 2 = 7

הספרות הנותרות ב-7 המקומות הנותרים, כלומר

7!

P {X_{1} = 1, X_{2} = 2} = \frac{7 !}{9 !} = \frac{1}{9 \cdot 8} = \frac{1}{72}

.
לכן, השונות המשותפת היא:

C o v (I_{1}, I_{2}) = \frac{1}{72} - \frac{1}{81} = \frac{9 - 8}{648} = \frac{1}{648}

.

כעת נציב את הערכים שחישבנו בנוסחה לשונות של

Y

V a r (Y) = 9 \cdot \frac{8}{81} + 72 \cdot \frac{1}{648} = \frac{8}{9} + \frac{72}{648}

מכיוון ש-

648 = 9 \cdot 72

, אז

\frac{72}{648} = \frac{1}{9}

V a r (Y) = \frac{8}{9} + \frac{1}{9} = 1

■

שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2024 - מרחב הסתברות