שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2017 - משתנה מקרי בדיד

ההסתברות (החודשית) לתקלה במחשב נייד של חברת 'PROB' היא $0.1$ (כל חודש). ברי אלן רוצה לקנות מחשב שיספיק לפחות לכל השנה. כלומר, כל חודש המחשב יכול להתקלקל בהסתברות של $0.1$. א. מה ההסתברות שהמחשב יפעל ללא תקלות בדיוק שנה? 12 חודשים או 13 ללא תקלה. ב. לאחר שנה שהמחשב תפקד ללא תקלות, ברי אלן שוקל האם לקנות מחשב חדש מאותה חברה או להמשיך להשתמש במחשב שלו. מה ההסתברות שהמחשב (הישן) יצליח להחזיק עוד שנה בדיוק? מאותו. ג. לאחר כמה זמן יהיה כדאי לברי אלן להחליף מחשב בכדי להגדיל את הסיכויים של המחשב שלו 'לשרוד' את השנה הקרובה? כיצד נקראת תכונה זו? חוסר זיכרון. ד. הוכיחו את התכונה מסעיף ג'. איזה עוד התפלגות מקיימת את התכונה הזאת?

רמז: זיהוי ההתפלגות המתאימה למספר הניסיונות עד להצלחה הראשונה הוא המפתח. התכונה המרכזית של התפלגות זו עונה על רוב סעיפי השאלה.

פתרון: נגדיר משתנה מקרי $X$ כמספר החודש בו מתרחשת התקלה הראשונה. מאחר שבכל חודש ישנה הסתברות קבועה ובלתי תלויה לתקלה, $p=0.1$, המשתנה $X$ מתפלג **התפלגות גיאומטרית**, $X \sim Geo(0.1)$. פונקציית ההסתברות (PMF) שלו היא $P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$. א. השאלה "מה ההסתברות שהמחשב יפעל ללא תקלות בדיוק שנה?" מתפרשת כך שהוא פועל כשורה במשך 12 חודשים, ומתקלקל בחודש ה-13. לכן, עלינו לחשב את $P(X=13)$. $P(X=13) = (1-0.1)^{13-1} \cdot 0.1 = (0.9)^{12} \cdot 0.1 \approx 0.2824 \cdot 0.1 = 0.02824$ ההסתברות היא כ-2.82%. ב. עלינו לחשב את ההסתברות שהמחשב יחזיק עוד שנה בדיוק, בהינתן שכבר פעל שנה ללא תקלות. כלומר, שהתקלה הראשונה תתרחש בחודש ה-25, בהינתן שהיא לא התרחשה ב-12 החודשים הראשונים. זוהי **הסתברות מותנית**: $P(X=25 | X>12)$. לפי הגדרת הסתברות מותנית: $P(X=25 | X>12) = \frac{P(X=25 \cap X>12)}{P(X>12)}$ המאורע $\{X=25\}$ מוכל במאורע $\{X>12\}$, ולכן החיתוך ביניהם הוא $\{X=25\}$. $P(X=25 | X>12) = \frac{P(X=25)}{P(X>12)}$ נחשב את המונה והמכנה: $P(X=25) = (0.9)^{25-1} \cdot 0.1 = (0.9)^{24} \cdot 0.1$ $P(X>12)$ היא ההסתברות לשרוד 12 חודשים. זו ההסתברות ל-12 "כישלונות" רצופים (בטרמינולוגיה של ניסויי ברנולי, כאשר "הצלחה" היא תקלה), ולכן: $P(X>12) = (1-p)^{12} = (0.9)^{12}$ נציב ונקבל: $P(X=25 | X>12) = \frac{(0.9)^{24} \cdot 0.1}{(0.9)^{12}} = (0.9)^{12} \cdot 0.1 \approx 0.02824$ ההסתברות שקיבלנו זהה לזו שבסעיף א'. ג. כפי שראינו בסעיף ב', ההסתברות של המחשב לשרוד שנה נוספת (ולאחר מכן להתקלקל) אינה תלויה בעובדה שהוא כבר שרד שנה. ההסתברות לתקלה בכל חודש נתון היא $0.1$, ללא קשר להיסטוריה של המחשב. לכן, אין זמן מסוים שבו "כדאי" להחליף את המחשב; מבחינה הסתברותית, מחשב ישן שעדיין עובד הוא "טוב כמו חדש". תכונה זו נקראת **תכונת חוסר הזיכרון**. ד. נוכיח את **תכונת חוסר הזיכרון** עבור התפלגות גיאומטרית. התכונה קובעת כי לכל $j, k \ge 1$ שלמים, מתקיים: $P(X > j+k | X > k) = P(X > j)$ **הוכחה:** ההסתברות שמשתנה מקרי גיאומטרי $X \sim Geo(p)$ יהיה גדול מ-$n$ (כלומר, שיהיו לפחות $n$ כישלונות לפני ההצלחה הראשונה) היא: $P(X > n) = (1-p)^n$ כעת, נפתח את אגף שמאל של המשוואה להוכחה, לפי הגדרת הסתברות מותנית: $P(X > j+k | X > k) = \frac{P(X > j+k \cap X > k)}{P(X > k)}$ אם $X > j+k$ אז בהכרח $X > k$, ולכן המאורע $\{X > j+k\}$ מוכל במאורע $\{X > k\}$. החיתוך הוא $\{X > j+k\}$. $P(X > j+k | X > k) = \frac{P(X > j+k)}{P(X > k)}$ נציב את הנוסחה עבור $P(X>n)$: $P(X > j+k | X > k) = \frac{(1-p)^{j+k}}{(1-p)^k} = (1-p)^{(j+k)-k} = (1-p)^j$ אגף ימין של המשוואה המקורית הוא $P(X > j)$, ששווה גם כן ל-$(1-p)^j$. מאחר ושני האגפים שווים ל-$(1-p)^j$, ההוכחה הושלמה. $\blacksquare$ ההתפלגות הרציפה המקיימת את תכונת חוסר הזיכרון היא **ההתפלגות המעריכית**.