שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2019 - קיטוב

נתון קבל לוחות באורך $L$ ובעובי $d$ ($d\ll L$), המחולק לשני חלקים שווים בגובהם. החלק התחתון ($0<z<d/2$) ממולא בחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי $\epsilon_r$, והחלק העליון ($d/2<z<d$) ממולא בחומר פרו-אלקטרי עם פולריזציה $\vec P(\vec r)=P_0\hat z$. על הקבל מופעל מתח קבוע $V_0$ (הלוח התחתון מוארק, $z=0$; העליון ב-$z=d$ במתח $V_0$). מחוץ להתקן השדות מתאפסים. **א.** מצאו את המשוואה שהפוטנציאל החשמלי מקיים בכל אחד מן התחומים בתוך ההתקן. **ב.** רשמו את הביטויים עבור הפוטנציאל והשדה החשמלי בהתקן, ואת תנאי המעבר והשפה הדרושים לפתרון (אין צורך למצוא את המקדמים). **ג.** מצאו את השדה החשמלי בהתקן. **ד.** מהי צפיפות המטען המשטחי החופשי $\rho_{S,f}$ ב-$z=d$? **ה.** מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחית $\rho_{S,P}$ ב-$z=d/2$? **ו.** בסעיף זה בלבד $\vec P(\vec r)=P_0\hat y$. מצאו את השדה החשמלי בהתקן במקרה זה. עבור הסעיפים הבאים מחליפים את מקור המתח הקבוע במקור מתח בעל תדר $\omega$: $V_{ac}\cos(\omega t)$. **ז.** מהו התנאי על נתוני השאלה לכך שהמשוואה שמצאתם בסעיף א תקפה גם למקרה זה? הסבירו. **ח.** מהו השדה החשמלי בתוך ההתקן? **ט.** מהו הזרם שמוזרם ע"י מקור המתח? ניתן להניח שהאלקטרודות ריבועיות עם שטח $L^2$.

רמז: בכל תחום אין מטען חופשי ו-$\vec P$ אחיד, לכן $\nabla^2\phi=0$ ו-$\vec E$ אחיד בכל שכבה. פתרו עם רציפות $\phi$, רציפות $D_z=\epsilon_0E_z+P_z$ במעבר, ומתח כולל $V_0$. במקרה ההרמוני נדרש $2\pi c/\omega\gg L$, והזרם הוא $\dot Q$ של המטען על האלקטרודה.

פתרון: **א.** השדה משמר, $\vec E=-\nabla\phi$, ואין מטענים חופשיים ($\nabla\cdot\vec D=0$ עם $\vec D=\epsilon_0\vec E+\vec P$). מכיוון ש-$\vec P$ אחיד בכל תחום, מתקבל $\nabla^2\phi=\dfrac{\nabla\cdot\vec P}{\epsilon_0}=0$ — **משוואת לפלס** בכל אחד מהתחומים. **ב.** הפתרון הטריוויאלי בכל תחום ($\vec E$ בכיוון $\hat z$ בלבד): $$\phi=\begin{cases}A_1z+B_1 & 0<z<d/2\\ A_2z+B_2 & d/2<z<d\end{cases}\qquad \vec E=\begin{cases}-A_1\hat z & 0<z<d/2\\ -A_2\hat z & d/2<z<d\end{cases}$$ תנאי שפה ומעבר: $\phi_1(0)=0$, $\phi_2(d)=V_0$, רציפות $\phi_1(d/2)=\phi_2(d/2)$, ורציפות $D_z$: $\hat z\cdot(\vec D_2-\vec D_1)|_{z=d/2}=0$, כלומר $-\epsilon_0A_2+P_0+\epsilon_0\epsilon_rA_1=0$. בנוסף $\int_0^d\vec E\cdot\hat z\,dz=-\tfrac d2(A_1+A_2)=V_0$. **ג.** פתרון המערכת נותן $$\vec E=\begin{cases}-\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2V_0}{d}-\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)\hat z & 0<z<d/2\\[2mm] -\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2V_0\epsilon_r}{d}+\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)\hat z & d/2<z<d\end{cases}$$ **ד.** $\rho_{S,f}=\hat z\cdot(0-\vec D_2)|_{z=d}=\epsilon_0A_2-P_0$: $$\rho_{S,f}=\dfrac{\epsilon_0}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2V_0\epsilon_r}{d}+\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)-P_0$$ **ה.** $\rho_{S,P}=-P_0+\epsilon_0(\epsilon_r-1)\vec E_1(z=d/2)\cdot\hat z$: $$\rho_{S,P}=-P_0-\epsilon_0(\epsilon_r-1)\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2V_0}{d}-\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)$$ **ו.** כעת $\vec P\cdot\hat z=0$, ולכן החומר הפרו-אלקטרי אינו יוצר מטעני קיטוב משטחיים על המעבר — שקול להצבת $P_0=0$ בסעיף ג: $$\vec E=\begin{cases}-\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\dfrac{2V_0}{d}\hat z & 0<z<d/2\\[2mm] -\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\dfrac{2V_0\epsilon_r}{d}\hat z & d/2<z<d\end{cases}$$ **ז.** יש לדרוש שאורך הגל יהיה גדול משמעותית מן ההתקן, כדי שהמערכת תישאר אלקטרו-קווזי-סטטית והפוטנציאל ימשיך לקיים את משוואת לפלס: $\dfrac{2\pi c}{\omega}\gg L$. **ח.** בסופרפוזיציה של שתי בעיות (DC עם $P_0$ ומתח אפס, ו-AC עם $V_{ac}$ ללא פרו-אלקטריות): $$\vec E=\begin{cases}-\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2V_{ac}\cos(\omega t)}{d}-\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)\hat z & 0<z<d/2\\[2mm] -\dfrac{1}{1+\epsilon_r}\!\left(\dfrac{2\epsilon_r V_{ac}\cos(\omega t)}{d}+\dfrac{P_0}{\epsilon_0}\right)\hat z & d/2<z<d\end{cases}$$ **ט.** הזרם הוא הנגזרת בזמן של המטען הכולל על האלקטרודה. עם $Q=L^2\dfrac{\epsilon_0}{1+\epsilon_r}\dfrac{2V_{ac}\epsilon_r}{d}\cos(\omega t)$: $$I=\dfrac{dQ}{dt}=-\omega L^2\dfrac{\epsilon_0}{1+\epsilon_r}\dfrac{2V_{ac}\epsilon_r}{d}\sin(\omega t)$$ $\blacksquare$