שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2016 - התפלגות פואסון

כאשר אדם שגר בתל אביב מגיע הביתה הוא מחפש חניה פנויה במעגלים סביב הרחוב. אם הוא לא מוצא חניה פנויה בסיבוב הראשון הוא ממשיך לסיבוב שני, אם הוא לא מוצא בסיבוב השני הוא ממשיך לסיבוב שלישי וכו' עד אשר הוא מוצא מקום חניה. כמות מקומות החניה בסיבוב בודד מתפלגת פואסונית עם $\lambda = 0.3$. כמות מקומות החניה בסיבובים השונים הן ב"ת. א. מה ההסתברות שאדם ימצא חניה בסיבוב הראשון? ב. בהנתן שאדם מצא חניה בסיבוב כלשהו, מה ההסתברות שבאותו סיבוב היה מקום חניה פנוי אחד בלבד? ג. מה ההסתברות שאדם ימצא חניה רק בסיבוב השלישי? ד. חשב את תוחלת מספר הסיבובים שמבצע האדם עד למציאת חניה. ה. אילן גר בתל אביב ומחפש מקום חניה לפי האסטרטגיה הבאה: הוא מחפש חניה, אם הוא לא מוצא חניה אחרי שסיים 3 סיבובים הוא נכנס לחניון ומשלם 20 ש"ח. כעת עומדת בפני אילן דילמה: מקום חניה פרטי התפנה בבניין שלו, במחיר 275 ש"ח לחודש. האם כדאי לאילן לשכור את מקום החניה בבניין שלו, אם ידוע שאילן מחפש חניה פעם ביום ובחודש יש 30 ימים? (מבחינת עלות נטו ללא שיקולי זמן ונוחות).

רמז: השלב הראשון הוא לחשב את ההסתברות למצוא לפחות מקום חניה אחד בסיבוב בודד. הסתברות זו מהווה את ה'הצלחה' בניסוי ברנולי עבור הסיבובים הבאים.

פתרון: נסמן ב-$X_i$ את מספר מקומות החניה הפנויים בסיבוב ה-$i$. נתון כי $X_i$ הוא משתנה מקרי המתפלג פואסונית עם פרמטר $\lambda=0.3$. כלומר, $X_i \sim \text{Poisson}(0.3)$. פונקציית ההסתברות של $X_i$ היא $P(X_i=k) = \frac{e^{-0.3} (0.3)^k}{k!}$ עבור $k=0, 1, 2, ...$. כמו כן, נתון כי המשתנים $X_1, X_2, ...$ הם בלתי תלויים. **א. ההסתברות למצוא חניה בסיבוב הראשון** המאורע "האדם ימצא חניה בסיבוב הראשון" מתרחש אם יש לפחות מקום חניה אחד פנוי בסיבוב הראשון, כלומר $X_1 > 0$. קל יותר לחשב את ההסתברות למאורע המשלים, כלומר שלא יימצא אף מקום חניה ($X_1=0$): $P(X_1=0) = \frac{e^{-0.3} (0.3)^0}{0!} = e^{-0.3}$. לכן, ההסתברות למצוא לפחות מקום חניה אחד היא: $P(X_1 > 0) = 1 - P(X_1=0) = 1 - e^{-0.3}$. באופן מספרי, $1 - e^{-0.3} \approx 1 - 0.7408 = 0.2592$. **ב. הסתברות למקום חניה אחד בלבד, בהינתן שנמצאה חניה** אנו רוצים לחשב את **ההסתברות המותנית** שהיה בדיוק מקום חניה אחד, בהינתן שנמצאה חניה (כלומר, היה לפחות מקום אחד). נסמן ב-$X$ את מספר מקומות החניה בסיבוב כלשהו. אנו מחפשים את $P(X=1 | X>0)$. לפי נוסחת הסתברות מותנית: $P(X=1 | X>0) = \frac{P(X=1 \cap X>0)}{P(X>0)}$. המצב $X=1$ הוא מקרה פרטי של $X>0$, ולכן החיתוך הוא פשוט $X=1$. מכאן: $P(X=1 | X>0) = \frac{P(X=1)}{P(X>0)}$. נחשב את המונה והמכנה: $P(X=1) = \frac{e^{-0.3} (0.3)^1}{1!} = 0.3e^{-0.3}$. $P(X>0) = 1 - e^{-0.3}$ (כפי שחישבנו בסעיף א'). לכן, ההסתברות המבוקשת היא: $\frac{0.3e^{-0.3}}{1 - e^{-0.3}} \approx \frac{0.3 \times 0.7408}{0.2592} \approx \frac{0.22224}{0.2592} \approx 0.8574$. **ג. ההסתברות למצוא חניה רק בסיבוב השלישי** המאורע "האדם ימצא חניה רק בסיבוב השלישי" משמעותו שהוא לא מצא חניה בסיבוב הראשון ($X_1=0$), וגם לא מצא חניה בסיבוב השני ($X_2=0$), וכן מצא חניה בסיבוב השלישי ($X_3>0$). בגלל **אי-תלות** כמות מקומות החניה בסיבובים השונים, ניתן להכפיל את ההסתברויות: $P(X_1=0 \cap X_2=0 \cap X_3>0) = P(X_1=0) \cdot P(X_2=0) \cdot P(X_3>0)$. מכיוון שההתפלגות זהה לכל סיבוב: $P(X_1=0) = P(X_2=0) = e^{-0.3}$. $P(X_3>0) = 1 - e^{-0.3}$. לכן, ההסתברות היא: $(e^{-0.3})^2 (1 - e^{-0.3}) = e^{-0.6}(1-e^{-0.3}) \approx (0.5488)(0.2592) \approx 0.1422$. **ד. תוחלת מספר הסיבובים עד למציאת חניה** נסמן ב-$N$ את מספר הסיבובים עד למציאת חניה. כל סיבוב הוא ניסוי ברנולי בלתי תלוי: "הצלחה" היא מציאת חניה, ו"כישלון" הוא אי-מציאת חניה. ההסתברות להצלחה בכל סיבוב היא $p = P(X_i > 0) = 1 - e^{-0.3}$. המשתנה $N$ מתפלג לפי **התפלגות גאומטרית** עם פרמטר $p$. ה**תוחלת** של משתנה מקרי גאומטרי היא $E[N] = \frac{1}{p}$. לכן, תוחלת מספר הסיבובים היא: $E[N] = \frac{1}{1 - e^{-0.3}} \approx \frac{1}{0.2592} \approx 3.858$. **ה. הדילמה של אילן** נחשב את העלות החודשית הצפויה של אילן באסטרטגיה הנוכחית שלו. אילן משלם 20 ש"ח רק אם הוא לא מוצא חניה לאחר 3 סיבובים. ההסתברות לאי-מציאת חניה ב-3 סיבובים היא ההסתברות שלא מצא בראשון, וגם לא בשני, וגם לא בשלישי. עקב **אי-תלות**, הסתברות זו היא: $P(\text{כישלון}) = P(X_1=0, X_2=0, X_3=0) = P(X_1=0)^3 = (e^{-0.3})^3 = e^{-0.9}$. נסמן ב-$C_{day}$ את העלות היומית. זהו משתנה מקרי: $C_{day} = \begin{cases} 20 & \text{בהסתברות } e^{-0.9} \\ 0 & \text{בהסתברות } 1-e^{-0.9} \end{cases}$ ה**תוחלת** של העלות היומית היא: $E[C_{day}] = 20 \cdot e^{-0.9} + 0 \cdot (1-e^{-0.9}) = 20e^{-0.9}$. נחשב את הערך המספרי: $e^{-0.9} \approx 0.40657$. $E[C_{day}] \approx 20 \times 0.40657 = 8.1314$ ש"ח. בחודש יש 30 ימים, ולכן העלות החודשית הצפויה היא: $E[C_{month}] = 30 \cdot E[C_{day}] \approx 30 \times 8.1314 = 243.942$ ש"ח. העלות החודשית הצפויה באסטרטגיה הנוכחית היא כ-244 ש"ח. עלות החניה הפרטית היא 275 ש"ח. מכיוון ש-$244 < 275$, מבחינת עלות נטו, **לא כדאי לאילן לשכור את מקום החניה**.