שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2021

סמסטר: א

נושאים: קוואזי-סטטיקה, מוליכים, דיאלקטריקים, חוק אמפר, שדה מגנטי, שדה ההעתקה, שדה חשמלי, מקדם דיאלקטרי, תנאי רציפות, קיבול

רמת קושי: קשה

מקור מתח $V(t)=V_0\cos(\omega t)$ מחובר להתקן גלילי בעל אורך $2d$ ורדיוס $R$ (מתקיים $d\ll R$); הלוחות החיצוניים עשויים מוליך מושלם. החומר בתוך ההתקן: מוליכות סופית $\sigma$ בחלקו העליון, וחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי יחסי $\varepsilon_r$ בחלקו התחתון. מן המקור זורם זרם פאזורי $I$. נתון תנאי הפסדים נמוכים $\sigma\gg\omega\varepsilon_0$ עבור החלק העליון. השדה החשמלי מחוץ להתקן אפס. **סעיף א (5 נק'):** מהו התנאי על תדר המקור $\omega$ כדי שההתקן יהיה במשטר קוואזי-סטטי? באיזה סוג משטר מדובר? כעת נתון כי בחלק העליון (המוליך) זורם זרם הולכה פאזורי בכיוון $-\hat z$ בעל צפיפות זרם אחידה, $\vec J=-J_0\hat z$. פתרו את הסעיפים הבאים ללא הזנחת הפסדים. **סעיף ב (10 נק'):** מצאו את המתח הנופל על כל אחד מחצאי ההתקן (המוליך לחוד והדיאלקטרי לחוד) כפונקציה של $V_0$ ו-$J_0$. **סעיף ג (5 נק'):** מצאו את צפיפות המטען המשטחית $\rho_s$ על השפה העליונה ועל השפה התחתונה. **סעיף ד (10 נק'):** מצאו את הפאזור של השדה המגנטי $\vec H$ בכל ההתקן כפונקציה של $V_0$ ו-$J_0$ (אזימוטלי בלבד, מתאפס בציר הסימטריה). **סעיף ה (10 נק'):** רשמו את תנאי המעבר על השדה המגנטי בין המוליך לדיאלקטרי, והשתמשו בו לביטוי $J_0$ כפונקציה של $V_0$. **סעיף ו (10 נק'):** מצאו את הזרם הפאזורי הכולל $I$ המוזן ממקור המתח.

רמז: המוליך והדיאלקטרי מחוברים בטור: על המוליך נופל $J_0 d/\sigma$ (חוק אוהם) והשאר על הדיאלקטרי. את $J_0$ קובעים מרציפות $H_\phi$ בממשק (חוק אמפר-מקסוול נותן $H_\phi\propto(j\omega\varepsilon+\sigma_{\text{eff}})E_z\,r$), והזרם הכולל כולל תרומת זרם היסט $j\omega\varepsilon_0$.

פתרון: **סעיף א:** דרוש שאורך הגל גדול בהרבה מגודל ההתקן: $\frac{c}{\omega}\gg R$. המשטר הוא **EQS** — בתדר DC הדיאלקטרי חוסם ואין מעגל זרימה סגור. **סעיף ב:** בחלק העליון $\vec J=-J_0\hat z$, ומחוק אוהם $\vec E=\frac{\vec J}{\sigma}=-\frac{J_0}{\sigma}\hat z$. המתח על המוליך: $V_{\text{cond}}=-\int E\,dz=\frac{J_0 d}{\sigma}$. לכן על הדיאלקטרי נופל $V_{\text{diel}}=V_0-\frac{J_0 d}{\sigma}$. **סעיף ג:** בחלק העליון $D_z^{top}=\varepsilon_0 E=-\frac{J_0\varepsilon_0}{\sigma}$, ומקפיצת $D$: $\rho_s^{top}=0-D_z^{top}=\frac{J_0\varepsilon_0}{\sigma}$. בחלק התחתון (קבל לוחות) $E_z^{bot}=\frac{J_0}{\sigma}-\frac{V_0}{d}$, $D_z^{bot}=\varepsilon_0\varepsilon_r E_z^{bot}$, ולכן $$\rho_s^{bot}=D_z^{bot}=\frac{J_0\varepsilon_0\varepsilon_r}{\sigma}-\frac{V_0\varepsilon_0\varepsilon_r}{d}.$$ **סעיף ד:** מחוק אמפר-מקסוול על לולאה ברדיוס $r$. בחלק העליון $\nabla\times\vec H=(j\omega\varepsilon_0+\sigma)\vec E$: $$H_\phi^{top}=-\frac{(j\omega\varepsilon_0+\sigma)}{2}\cdot\frac{J_0}{\sigma}\,r.$$ בחלק התחתון (ללא $\sigma$, עם $\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r$): $$H_\phi^{bot}=\frac{j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r}{2}\left(\frac{J_0}{\sigma}-\frac{V_0}{d}\right)r.$$ **סעיף ה:** השדה המגנטי המשיק רציף בממשק, $H_\phi^{top}=H_\phi^{bot}$: $$\frac{j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r}{2}\left(\frac{J_0}{\sigma}-\frac{V_0}{d}\right)=-\frac{(j\omega\varepsilon_0+\sigma)}{2}\cdot\frac{J_0}{\sigma},$$ ומכאן $$J_0=\frac{V_0\sigma}{d}\cdot\frac{j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r}{j\omega\varepsilon_0+j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r+\sigma}.$$ **סעיף ו:** הזרם הכולל = זרם הולכה + זרם היסט: $I=J_0\pi R^2+j\omega\varepsilon_0 E_z^{top}\pi R^2=J_0\pi R^2\left(1+\frac{j\omega\varepsilon_0}{\sigma}\right)$. אותה תוצאה מתקבלת ממשוואת הרציפות $\hat n\cdot(\vec J_1-\vec J_2)=-j\omega\rho_s$ באינטגרציה על החתך. $\blacksquare$

מקור מתח

V (t) = V_{0} cos (ω t)

מחובר להתקן גלילי בעל אורך

2 d

ורדיוס

R

(מתקיים

d ≪ R

); הלוחות החיצוניים עשויים מוליך מושלם. החומר בתוך ההתקן: מוליכות סופית

σ

בחלקו העליון, וחומר דיאלקטרי בעל מקדם דיאלקטרי יחסי

ε_{r}

בחלקו התחתון. מן המקור זורם זרם פאזורי

I

. נתון תנאי הפסדים נמוכים

σ ≫ ω ε_{0}

עבור החלק העליון. השדה החשמלי מחוץ להתקן אפס.

סעיף א (5 נק'): מהו התנאי על תדר המקור

ω

כדי שההתקן יהיה במשטר קוואזי-סטטי? באיזה סוג משטר מדובר?

כעת נתון כי בחלק העליון (המוליך) זורם זרם הולכה פאזורי בכיוון

- \overset{z}{^}

בעל צפיפות זרם אחידה,

J = - J_{0} \overset{z}{^}

. פתרו את הסעיפים הבאים ללא הזנחת הפסדים.

סעיף ב (10 נק'): מצאו את המתח הנופל על כל אחד מחצאי ההתקן (המוליך לחוד והדיאלקטרי לחוד) כפונקציה של

V_{0}

ו-

J_{0}

.

סעיף ג (5 נק'): מצאו את צפיפות המטען המשטחית

ρ_{s}

על השפה העליונה ועל השפה התחתונה.

סעיף ד (10 נק'): מצאו את הפאזור של השדה המגנטי

H

בכל ההתקן כפונקציה של

V_{0}

ו-

J_{0}

(אזימוטלי בלבד, מתאפס בציר הסימטריה).

סעיף ה (10 נק'): רשמו את תנאי המעבר על השדה המגנטי בין המוליך לדיאלקטרי, והשתמשו בו לביטוי

J_{0}

כפונקציה של

V_{0}

.

סעיף ו (10 נק'): מצאו את הזרם הפאזורי הכולל

I

המוזן ממקור המתח.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד א · 2021 · סמסטר א

★★★★★

קוואזי-סטטיקהמוליכיםדיאלקטריקיםחוק אמפרשדה מגנטישדה ההעתקהשדה חשמלימקדם דיאלקטריתנאי רציפותקיבול

המוליך והדיאלקטרי מחוברים בטור: על המוליך נופל

J_{0} d / σ

(חוק אוהם) והשאר על הדיאלקטרי. את

J_{0}

קובעים מרציפות

H_{ϕ}

בממשק (חוק אמפר-מקסוול נותן

H_{ϕ} \propto (j ω ε + σ_{eff}) E_{z} r

), והזרם הכולל כולל תרומת זרם היסט

j ω ε_{0}

סעיף א: דרוש שאורך הגל גדול בהרבה מגודל ההתקן:

\frac{c}{ω} ≫ R

. המשטר הוא EQS — בתדר DC הדיאלקטרי חוסם ואין מעגל זרימה סגור.

סעיף ב: בחלק העליון

J = - J_{0} \overset{z}{^}

, ומחוק אוהם

E = \frac{J}{σ} = - \frac{J _{0}}{σ} \overset{z}{^}

. המתח על המוליך:

V_{cond} = - \int E d z = \frac{J _{0} d}{σ}

. לכן על הדיאלקטרי נופל

V_{diel} = V_{0} - \frac{J _{0} d}{σ}

.

סעיף ג: בחלק העליון

D_{z}^{t o p} = ε_{0} E = - \frac{J _{0} ε _{0}}{σ}

, ומקפיצת

D

ρ_{s}^{t o p} = 0 - D_{z}^{t o p} = \frac{J _{0} ε _{0}}{σ}

. בחלק התחתון (קבל לוחות)

E_{z}^{b o t} = \frac{J _{0}}{σ} - \frac{V _{0}}{d}

D_{z}^{b o t} = ε_{0} ε_{r} E_{z}^{b o t}

, ולכן

ρ_{s}^{b o t} = D_{z}^{b o t} = \frac{J _{0} ε _{0} ε _{r}}{σ} - \frac{V _{0} ε _{0} ε _{r}}{d} .

סעיף ד: מחוק אמפר-מקסוול על לולאה ברדיוס

r

. בחלק העליון

\nabla \times H = (j ω ε_{0} + σ) E

H_{ϕ}^{t o p} = - \frac{( j ω ε _{0} + σ )}{2} \cdot \frac{J _{0}}{σ} r .

בחלק התחתון (ללא

σ

, עם

ε = ε_{0} ε_{r}

H_{ϕ}^{b o t} = \frac{j ω ε _{0} ε _{r}}{2} (\frac{J _{0}}{σ} - \frac{V _{0}}{d}) r .

סעיף ה: השדה המגנטי המשיק רציף בממשק,

H_{ϕ}^{t o p} = H_{ϕ}^{b o t}

\frac{j ω ε _{0} ε _{r}}{2} (\frac{J _{0}}{σ} - \frac{V _{0}}{d}) = - \frac{( j ω ε _{0} + σ )}{2} \cdot \frac{J _{0}}{σ},

ומכאן

J_{0} = \frac{V _{0} σ}{d} \cdot \frac{j ω ε _{0} ε _{r}}{j ω ε _{0} + j ω ε _{0} ε _{r} + σ} .

סעיף ו: הזרם הכולל = זרם הולכה + זרם היסט:

I = J_{0} π R^{2} + j ω ε_{0} E_{z}^{t o p} π R^{2} = J_{0} π R^{2} (1 + \frac{j ω ε _{0}}{σ})

. אותה תוצאה מתקבלת ממשוואת הרציפות

\overset{n}{^} \cdot (J_{1} - J_{2}) = - j ω ρ_{s}

באינטגרציה על החתך.

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021 - קוואזי-סטטיקה