שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2016 - התפלגות משותפת

נתון ניסוי המורכב משני שלבים: בשלב הראשון של הניסוי מגרילים מספר שלם מ1 עד 4 (כולל). כל מספר יכול להיבחר בהסתברות שוה. בשלב השני של הניסוי מטילים מטבע הוגן כמספר הפעמים שיצא בשלב הראשון של הניסוי. (למשל, אם בשלב הראשון של הניסוי נבחר המספר $4$, בשלב השני של הניסוי נטיל מטבע $4$ פעמים). א. מלאו את טבלת ההתפלגות המשותפת של שני המשתנים הבאים: $X$ - המספר שנבחר בשלב הראשון. $Y$ - מספר הפעמים שיצא פלי בשלב השני. על הטבלה לכלול גם את ההסתברויות השוליות של שני המשתנים. ב. האם המשתנים בסעיף א בלתי תלויים? ג. בהינתן שבשלב השני יצא פעמיים פלי, מה ההסתברות שבשלב הראשון הגרלנו את המספר 4? ד. בשלב הראשון הוגרל המספר $3$. מלאו את טבלת ההתפלגות המשותפת של שני המשתנים הבאים: $U$ - מספר הפעמים שיצא עץ בשלב השני של ניסוי זה. $V$ - מספר הפעמים שיצא פלי בשלב השני של ניסוי זה. אין צורך לכלול את ההתפלגות השולית בטבלה זו. ה. עבור $U$ ו-$V$ מסעיף ד, חשבו את $\text{COV}(U,V)$ ואת $\rho(U,V)$ (קורלציה).

רמז: חשבו תחילה את ההתפלגות המשותפת $P(X=k, Y=j)$ באמצעות נוסחת ההסתברות המותנית $P(Y=j|X=k)$ וההסתברות הנתונה $P(X=k)$. טבלת ההתפלגות המשותפת היא המפתח לפתרון כל סעיפי השאלה.

פתרון: א. \\ראשית, נגדיר את המשתנים האקראיים.\\$X$ הוא המספר שיצא בשלב הראשון, ולכן $X$ מתפלג **התפלגות אחידה בדידה** על הקבוצה \{1, 2, 3, 4\}, כלומר $P(X=k) = \frac{1}{4}$ לכל $k \in \{1, 2, 3, 4\}$.\\$Y$ הוא מספר הפעמים שיצא 'פלי' בשלב השני. בהינתן $X=k$, מטילים מטבע $k$ פעמים. לכן, **ההתפלגות המותנית** של $Y$ בהינתן $X=k$ היא **התפלגות בינומית**: $Y|X=k \sim \text{Binomial}(n=k, p=0.5)$. פונקציית ההסתברות המותנית היא $P(Y=j|X=k) = \binom{k}{j} (0.5)^k$ עבור $j=0,1,...,k$.\\נחשב את **ההתפלגות המשותפת** $P(X=k, Y=j)$ באמצעות הנוסחה $P(X=k, Y=j) = P(Y=j|X=k)P(X=k)$.\\לדוגמה, עבור $k=3, j=2$: $P(X=3, Y=2) = P(Y=2|X=3)P(X=3) = \binom{3}{2}(0.5)^3 \cdot \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{32}$.\\נבנה את טבלת ההתפלגות המשותפת. הערכים בטבלה הם $P(X=k, Y=j)$. השורה האחרונה והעמודה האחרונה הן **ההסתברויות השוליות**.\\$P(X=k) = \sum_j P(X=k, Y=j)$ ו-$P(Y=j) = \sum_k P(X=k, Y=j)$.\\\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c||c|} \hline X \setminus Y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & P(X=k) \\ \hline 1 & \frac{8}{64} & \frac{8}{64} & 0 & 0 & 0 & \frac{16}{64}=\frac{1}{4} \\ \hline 2 & \frac{4}{64} & \frac{8}{64} & \frac{4}{64} & 0 & 0 & \frac{16}{64}=\frac{1}{4} \\ \hline 3 & \frac{2}{64} & \frac{6}{64} & \frac{6}{64} & \frac{2}{64} & 0 & \frac{16}{64}=\frac{1}{4} \\ \hline 4 & \frac{1}{64} & \frac{4}{64} & \frac{6}{64} & \frac{4}{64} & \frac{1}{64} & \frac{16}{64}=\frac{1}{4} \\ \hline \hline P(Y=j) & \frac{15}{64} & \frac{26}{64} & \frac{16}{64} & \frac{6}{64} & \frac{1}{64} & 1 \\ \hline \end{array} \]\\ב. \\כדי ששני משתנים מקריים $X,Y$ יהיו **בלתי תלויים**, צריך להתקיים $P(X=k, Y=j) = P(X=k)P(Y=j)$ לכל $k,j$. \\נבדוק למשל עבור $k=1, j=2$: \\מהטבלה, $P(X=1, Y=2) = 0$.\\מחישוב ההסתברויות השוליות: $P(X=1) = \frac{1}{4}$ ו-$P(Y=2) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.\\המכפלה היא $P(X=1)P(Y=2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{16}$.\\מאחר ש- $0 \neq \frac{1}{16}$, המשתנים $X$ ו-$Y$ **תלויים**.\\ג. \\אנו נדרשים לחשב את ההסתברות המותנית $P(X=4|Y=2)$.\\לפי הגדרת **הסתברות מותנית**:\\$P(X=4|Y=2) = \frac{P(X=4, Y=2)}{P(Y=2)}$\\נשתמש בערכים מהטבלה בסעיף א':\\$P(X=4, Y=2) = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$\\$P(Y=2) = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$\\לכן, $P(X=4|Y=2) = \frac{3/32}{1/4} = \frac{3}{32} \cdot 4 = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$.\\ד. \\נתון שבשלב הראשון הוגרל המספר 3, כלומר הוטל מטבע 3 פעמים. \\$U$ - מספר הפעמים שיצא 'עץ'.\\$V$ - מספר הפעמים שיצא 'פלי'.\\מאחר שמספר ההטלות הכולל קבוע ושווה ל-3, מתקיים הקשר $U+V=3$. \\המשמעות היא שההסתברות המשותפת $P(U=u, V=v)$ שונה מאפס רק כאשר $u+v=3$. \\ההתפלגות של $V$ (מספר הפעמים 'פלי' ב-3 הטלות) היא בינומית: $V \sim \text{Binomial}(n=3, p=0.5)$.\\$P(V=v) = \binom{3}{v}(0.5)^3$.\\מכיוון ש-$U=3-V$, מתקיים $P(U=u, V=v) = P(V=v)$ כאשר $u=3-v$, ו-0 אחרת.\\$P(U=3, V=0) = P(V=0) = \binom{3}{0}(0.5)^3 = \frac{1}{8}$.\\$P(U=2, V=1) = P(V=1) = \binom{3}{1}(0.5)^3 = \frac{3}{8}$.\\$P(U=1, V=2) = P(V=2) = \binom{3}{2}(0.5)^3 = \frac{3}{8}$.\\$P(U=0, V=3) = P(V=3) = \binom{3}{3}(0.5)^3 = \frac{1}{8}$.\\טבלת ההתפלגות המשותפת:\\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline U \setminus V & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{8} \\ \hline 1 & 0 & 0 & \frac{3}{8} & 0 \\ \hline 2 & 0 & \frac{3}{8} & 0 & 0 \\ \hline 3 & \frac{1}{8} & 0 & 0 & 0 \\ \hline \end{array} \]\\ה. \\עלינו לחשב את **השונות המשותפת** ($ ext{COV}$) ואת **מקדם המתאם** ($ ho$).\\נתון $U+V=3$, כלומר $U=3-V$. זהו קשר לינארי מושלם.\\המשתנים $U$ ו-$V$ מתפלגים בינומית, $U, V \sim \text{Binomial}(n=3, p=0.5)$.\\**התוחלת** של כל אחד מהם היא $E[U]=E[V]=np = 3 \cdot 0.5 = 1.5$.\\**השונות** של כל אחד מהם היא $\text{Var}(U)=\text{Var}(V)=np(1-p) = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 0.75$.\\נחשב את השונות המשותפת באמצעות תכונות השונות המשותפת:\\$\text{COV}(U,V) = \text{COV}(3-V, V) = \text{COV}(3,V) - \text{COV}(V,V)$\\מאחר שהשונות המשותפת עם קבוע היא אפס ($\text{COV}(3,V)=0$) והשונות המשותפת של משתנה עם עצמו היא השונות ($\text{COV}(V,V)=\text{Var}(V)$), נקבל:\\$\text{COV}(U,V) = 0 - \text{Var}(V) = -0.75$.\\כעת נחשב את מקדם המתאם (קורלציה):\\$\rho(U,V) = \frac{\text{COV}(U,V)}{\sqrt{\text{Var}(U)\text{Var}(V)}} = \frac{-0.75}{\sqrt{0.75 \cdot 0.75}} = \frac{-0.75}{0.75} = -1$.\\התוצאה $\rho(U,V)=-1$ הגיונית, שכן קיים קשר לינארי שלילי מושלם בין $U$ ו-$V$.