שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2016 - התפלגות משותפת

נתון ניסוי המורכב משני שלבים: בשלב הראשון של הניסוי מגרילים מספר שלם מ1 עד 4 (כולל). כל מספר יכול להיבחר בהסתברות שוה. בשלב השני של הניסוי מטילים מטבע הוגן כמספר הפעמים שיצא בשלב הראשון של הניסוי. (למשל, אם בשלב הראשון של הניסוי נבחר המספר $4$, בשלב השני של הניסוי נטיל מטבע $4$ פעמים). א. מלאו את טבלת ההתפלגות המשותפת של שני המשתנים הבאים: $X$ - המספר שנבחר בשלב הראשון. $Y$ - מספר הפעמים שיצא פלי בשלב השני. על הטבלה לכלול גם את ההסתברויות השוליות של שני המשתנים. ב. האם המשתנים בסעיף א בלתי תלויים? ג. בהינתן שבשלב השני יצא פעמיים פלי, מה ההסתברות שבשלב הראשון הגרלנו את המספר 4? ד. בשלב הראשון הוגרל המספר $3$. מלאו את טבלת ההתפלגות המשותפת של שני המשתנים הבאים: $U$ - מספר הפעמים שיצא עץ בשלב השני של ניסוי זה. $V$ - מספר הפעמים שיצא פלי בשלב השני של ניסוי זה. אין צורך לכלול את ההתפלגות השולית בטבלה זו. ה. עבור $U$ ו-$V$ מסעיף ד, חשבו את $\text{COV}(U,V)$ ואת $\rho(U,V)$ (קורלציה).

רמז: שימו לב כי $Y \mid X=x \sim \text{Binomial}(x, \tfrac{1}{2})$, ולכן $P(X=x, Y=y) = \tfrac{1}{4}\binom{x}{y}\left(\tfrac{1}{2}\right)^x$. לסעיף ה, שימו לב לקשר $U+V=3$ (קבוע) ומה הוא מרמז על השונות המשותפת.

פתרון: **א. טבלת ההתפלגות המשותפת של $X$ ו-$Y$** מכיוון ש-$X$ אחיד על $\{1,2,3,4\}$ וש-$Y|X=x \sim \text{Binomial}(x,\tfrac{1}{2})$, מתקיים: $$P(X=x,\, Y=y) = \frac{1}{4}\binom{x}{y}\left(\frac{1}{2}\right)^x$$ | $X \backslash Y$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | $P(X=x)$ | |---|---|---|---|---|---|---| | 1 | $\tfrac{1}{8}$ | $\tfrac{1}{8}$ | 0 | 0 | 0 | $\tfrac{1}{4}$ | | 2 | $\tfrac{1}{16}$ | $\tfrac{2}{16}$ | $\tfrac{1}{16}$ | 0 | 0 | $\tfrac{1}{4}$ | | 3 | $\tfrac{1}{32}$ | $\tfrac{3}{32}$ | $\tfrac{3}{32}$ | $\tfrac{1}{32}$ | 0 | $\tfrac{1}{4}$ | | 4 | $\tfrac{1}{64}$ | $\tfrac{4}{64}$ | $\tfrac{6}{64}$ | $\tfrac{4}{64}$ | $\tfrac{1}{64}$ | $\tfrac{1}{4}$ | | $P(Y=y)$ | $\tfrac{15}{64}$ | $\tfrac{26}{64}$ | $\tfrac{16}{64}$ | $\tfrac{6}{64}$ | $\tfrac{1}{64}$ | 1 | **חישוב ההסתברויות השוליות של $Y$** (המרה למכנה משותף 64): $$P(Y=0)=\frac{8+4+2+1}{64}=\frac{15}{64}, \quad P(Y=1)=\frac{8+8+6+4}{64}=\frac{26}{64}$$ $$P(Y=2)=\frac{0+4+6+6}{64}=\frac{16}{64}=\frac{1}{4}, \quad P(Y=3)=\frac{2+4}{64}=\frac{6}{64}, \quad P(Y=4)=\frac{1}{64}$$ --- **ב. האם $X$ ו-$Y$ בלתי תלויים?** **לא**. המשתנים **תלויים**. לדוגמה: $$P(X=1,\, Y=2) = 0$$ אך $$P(X=1)\cdot P(Y=2) = \frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4} = \frac{1}{16} \neq 0$$ מכיוון שעבור ערך אחד לפחות $P(X=x,Y=y)\neq P(X=x)P(Y=y)$, המשתנים **תלויים**. --- **ג. $P(X=4 \mid Y=2)$ — שימוש ב**נוסחת בייס**** $$P(X=4 \mid Y=2) = \frac{P(X=4,\,Y=2)}{P(Y=2)} = \frac{\tfrac{6}{64}}{\tfrac{16}{64}} = \frac{6}{16} = \boxed{\dfrac{3}{8}}$$ --- **ד. טבלת ההתפלגות המשותפת של $U$ ו-$V$ בהינתן $X=3$** בהינתן $X=3$, מטילים מטבע 3 פעמים. $U$ = מספר פעמים שיצא **עץ**, $V$ = מספר פעמים שיצא **פלי**. חשוב לשים לב: $U+V=3$ בהכרח, כך שהפיזור על הטבלה הוא לאורך האלכסון $u+v=3$ בלבד: $$P(U=u,\,V=v) = \binom{3}{u}\left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \mathbf{1}_{[v=3-u]}$$ | $U \backslash V$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | 0 | 0 | 0 | 0 | $\tfrac{1}{8}$ | | 1 | 0 | 0 | $\tfrac{3}{8}$ | 0 | | 2 | 0 | $\tfrac{3}{8}$ | 0 | 0 | | 3 | $\tfrac{1}{8}$ | 0 | 0 | 0 | --- **ה. $\text{Cov}(U,V)$ ו-$\rho(U,V)$** מכיוון ש-$U+V=3$ (קבוע), נובע: $$\text{Cov}(U,V) = \text{Cov}(U,\, 3-U) = -\text{Var}(U)$$ $U\sim\text{Binomial}\!\left(3,\tfrac{1}{2}\right)$, לכן $\text{Var}(U)=3\cdot\tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{4}$. $$\boxed{\text{Cov}(U,V) = -\frac{3}{4}}$$ באופן דומה $\text{Var}(V)=\text{Var}(3-U)=\text{Var}(U)=\tfrac{3}{4}$, לכן: $$\rho(U,V) = \frac{\text{Cov}(U,V)}{\sqrt{\text{Var}(U)}\cdot\sqrt{\text{Var}(V)}} = \frac{-\tfrac{3}{4}}{\tfrac{3}{4}} = \boxed{-1}$$ תוצאה זו הגיונית: $U$ ו-$V$ תלויים **לינארית** בצורה מושלמת שלילית ($V=3-U$), ולכן מקדם המתאם שלהם הוא $-1$. $\blacksquare$