שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - משתנה מקרי בדיד

מספר ביטוחי הפנסיה שיש לשכיר באוכלוסייה מסוימת מתפלג לפי פונקציית ההסתברות הבאה: | $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---| | $P(X)$ | $\theta$ | $2\theta$ | $3\theta$ | $1-6\theta$ | כאשר $\theta$ הינו פרמטר שאינו ידוע. הוצעו שני אומדים המתבססים על מדגם מקרי של 16 שכירים מאותה האוכלוסייה. האומדים המוצעים הם: $$T_1 = \frac{3-\bar{X}}{10}, \quad T_2 = \frac{4-\bar{X}}{10}$$ א. (18 נק') בדקו עבור כל אומד אם הוא אומד חסר הטיה. 1. בדקו עבור כל אומד אם הוא אומד חסר הטיה. 2. איזה אומד מבין שני האומדים הללו עדיף? נמקו. 3. מצאו אומד חסר הטיה להסתברות שלשכיר אקראי באותה אוכלוסייה יהיו לפחות 2 ביטוחי פנסיה. ב. (7 נק') נניח כעת ש־$\theta$ ידועה ושווה ל־0.1. דוגמים באקראי 25 שכירים בלתי תלויים במספר ביטוחי הפנסיה שלהם. מצאו קירוב להסתברות שממוצע מספר הפנסיות לשכיר במדגם יהיה לכל היותר 2.2?

רמז: כדי לבדוק האם אומד הוא חסר הטיה, יש לחשב את תוחלתו. לצורך חישוב ה-MSE ושימוש במשפט הגבול המרכזי, יש לחשב גם את התוחלת והשונות של $X$ כתלות ב-$\theta$.

פתרון: **א.1. בדיקת הטיה לאומדים** ראשית, נחשב את **התוחלת** של המשתנה המקרי $X$, המסמן את מספר ביטוחי הפנסיה, כתלות בפרמטר $\theta$: $$E[X] = \sum_{x} x \cdot P(X=x) = 0 \cdot \theta + 1 \cdot (2\theta) + 2 \cdot (3\theta) + 3 \cdot (1-6\theta)$$ $$E[X] = 2\theta + 6\theta + 3 - 18\theta = 3 - 10\theta$$ תוחלת ממוצע המדגם, $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$, שווה לתוחלת האוכלוסייה: $$E[\bar{X}] = E[X] = 3 - 10\theta$$ כעת נבדוק את ההטיה של כל אחד מהאומדים. **אומד חסר הטיה** הוא אומד שהתוחלת שלו שווה לפרמטר הנאמד. * **בדיקת האומד $T_1$:** נחשב את התוחלת של $T_1$: $$E[T_1] = E\left[\frac{3-\bar{X}}{10}\right] = \frac{1}{10} E[3-\bar{X}] = \frac{1}{10}(3 - E[\bar{X}])$$ נציב את $E[\bar{X}]$: $$E[T_1] = \frac{1}{10}(3 - (3 - 10\theta)) = \frac{1}{10}(3 - 3 + 10\theta) = \frac{10\theta}{10} = \theta$$ מכיוון ש-$E[T_1] = \theta$, האומד $T_1$ הוא **אומד חסר הטיה** ל-$\theta$. * **בדיקת האומד $T_2$:** נחשב את התוחלת של $T_2$: $$E[T_2] = E\left[\frac{4-\bar{X}}{10}\right] = \frac{1}{10} E[4-\bar{X}] = \frac{1}{10}(4 - E[\bar{X}])$$ נציב את $E[\bar{X}]$: $$E[T_2] = \frac{1}{10}(4 - (3 - 10\theta)) = \frac{1}{10}(4 - 3 + 10\theta) = \frac{1+10\theta}{10} = 0.1 + \theta$$ מכיוון ש-$E[T_2] \neq \theta$, האומד $T_2$ הוא **אומד מוטה** ל-$\theta$. ההטיה היא $Bias(T_2) = E[T_2] - \theta = 0.1$. **א.2. איזה אומד עדיף?** כדי להשוות בין שני אומדים, נשתמש בקריטריון ה**שגיאה הריבועית הממוצעת (MSE)**, המוגדרת כ-$MSE(T) = E[(T-\theta)^2] = Var(T) + (Bias(T))^2$. אומד עם MSE נמוך יותר נחשב עדיף. ראשית, נחשב את ה**שונות** של $X$: $$E[X^2] = \sum_{x} x^2 P(X=x) = 0^2\cdot\theta + 1^2\cdot(2\theta) + 2^2\cdot(3\theta) + 3^2\cdot(1-6\theta)$$ $$E[X^2] = 2\theta + 12\theta + 9 - 54\theta = 9 - 40\theta$$ $$Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = (9-40\theta) - (3-10\theta)^2$$ $$Var(X) = 9-40\theta - (9 - 60\theta + 100\theta^2) = 20\theta - 100\theta^2 = 20\theta(1-5\theta)$$ השונות של ממוצע המדגם $\bar{X}$ (עבור מדגם בגודל $n=16$) היא: $$Var(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{20\theta(1-5\theta)}{16}$$ כעת נחשב את ה-MSE של כל אומד: * **MSE עבור $T_1$:** מכיוון ש-$T_1$ חסר הטיה, $Bias(T_1) = 0$. $$MSE(T_1) = Var(T_1) = Var\left(\frac{3-\bar{X}}{10}\right) = \frac{1}{100}Var(\bar{X})$$ $$MSE(T_1) = \frac{1}{100} \cdot \frac{20\theta(1-5\theta)}{16} = \frac{20\theta(1-5\theta)}{1600} = \frac{\theta(1-5\theta)}{80}$$ * **MSE עבור $T_2$:** ההטיה של $T_2$ היא $0.1$. $$Var(T_2) = Var\left(\frac{4-\bar{X}}{10}\right) = \frac{1}{100}Var(\bar{X}) = \frac{\theta(1-5\theta)}{80}$$ $$MSE(T_2) = Var(T_2) + (Bias(T_2))^2 = \frac{\theta(1-5\theta)}{80} + (0.1)^2 = \frac{\theta(1-5\theta)}{80} + 0.01$$ בהשוואה בין שני האומדים, $$MSE(T_2) = MSE(T_1) + 0.01$$ מכיוון ש-$MSE(T_2) > MSE(T_1)$ לכל ערך של $\theta$, **האומד $T_1$ עדיף** על פני $T_2$. **א.3. אומד חסר הטיה להסתברות $P(X \ge 2)$** תחילה, נבטא את ההסתברות הרצויה באמצעות $\theta$: $$p = P(X \ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = 3\theta + (1-6\theta) = 1 - 3\theta$$ אנו מחפשים אומד $T_3$ כך ש-$E[T_3] = 1-3\theta$. נשתמש בעובדה ש-$T_1$ הוא אומד חסר הטיה ל-$\theta$. טרנספורמציה לינארית של אומד חסר הטיה היא אומד חסר הטיה לטרנספורמציה הלינארית של הפרמטר. לכן, נגדיר את האומד $T_3$ באמצעות $T_1$: $$T_3 = 1 - 3T_1 = 1 - 3\left(\frac{3-\bar{X}}{10}\right)$$ $$T_3 = \frac{10 - 3(3-\bar{X})}{10} = \frac{10 - 9 + 3\bar{X}}{10} = \frac{1+3\bar{X}}{10}$$ נוודא שאכן זהו אומד חסר הטיה: $$E[T_3] = E\left[\frac{1+3\bar{X}}{10}\right] = \frac{1}{10}(1+3E[\bar{X}]) = \frac{1}{10}(1+3(3-10\theta))$$ $$E[T_3] = \frac{1}{10}(1+9-30\theta) = \frac{1}{10}(10-30\theta) = 1-3\theta = p$$ לכן, $T_3 = \frac{1+3\bar{X}}{10}$ הוא אומד חסר הטיה להסתברות שלשכיר יהיו לפחות 2 ביטוחי פנסיה. $\blacksquare$ **ב. קירוב להסתברות עבור ממוצע המדגם** נתון $\theta=0.1$ וגודל מדגם $n=25$. מכיוון שגודל המדגם ($n=25$) גדול מספיק, ניתן להשתמש ב**משפט הגבול המרכזי (CLT)**. משפט זה קובע כי התפלגות ממוצע המדגם, $\bar{X}$, מתקרבת להתפלגות נורמלית. ראשית, נחשב את התוחלת והשונות של $X$ כאשר $\theta=0.1$: * **תוחלת:** $\mu = E[X] = 3 - 10\theta = 3 - 10(0.1) = 3 - 1 = 2$. * **שונות:** $\sigma^2 = Var(X) = 20\theta - 100\theta^2 = 20(0.1) - 100(0.1)^2 = 2 - 100(0.01) = 2 - 1 = 1$. לפי משפט הגבול המרכזי, התפלגות ממוצע המדגם היא בקירוב: $$\bar{X} \approx N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) = N\left(2, \frac{1}{25}\right)$$ סטיית התקן של $\bar{X}$ היא $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{1/25} = 1/5 = 0.2$. אנו רוצים למצוא את הקירוב ל-$P(\bar{X} \le 2.2)$. נעבור למשתנה נורמלי סטנדרטי $Z$: $$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - 2}{1/5}$$ נציב באי-השוויון: $$P(\bar{X} \le 2.2) = P\left(\frac{\bar{X}-2}{1/5} \le \frac{2.2-2}{1/5}\right) = P\left(Z \le \frac{0.2}{0.2}\right) = P(Z \le 1)$$ מטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית, ערך פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF) עבור $Z=1$ הוא: $$P(Z \le 1) = \Phi(1) \approx 0.8413$$ לכן, ההסתברות שממוצע מספר הפנסיות לשכיר במדגם יהיה לכל היותר 2.2 היא בקירוב 0.8413. $\blacksquare$