שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - התפלגות פואסון

מספר הפרסומות המשודרות בטלוויזיה בין 20:00-21:00 מתפלג פואסונית עם תוחלת של 3 פרסומות. א. בערב מסוים שודרה לפחות פרסומת אחת בין 20:00-21:00 מה ההסתברות שבשעה זו שודרו לכל היותר 3 פרסומות? ב. בערב מסוים שודרה לפחות פרסומת אחת בין 20:00-21:00 מה ההסתברות שבין 20:00-20:30 באותו היום שודרו בדיוק 3 פרסומות? ג. בערב מסוים שודרו בדיוק 5 פרסומות בין 20:00-21:00 מהן התוחלת והשונות של מספר הפרסומות ששודרו באותו היום בין 20:00-20:15? ד. נסמן ב-$X$ את מספר הפרסומות המשודרות בין 20:00-21:00 ביום מסוים וב-$Y$ מספר הפרסומות המשודרות בין 20:00-20:30 באותו היום. חשבו את: $\text{Cov}(2X, 4-Y)$. ה. בכל ערב ערן צופה בטלוויזיה בהסתברות של 0.7 ובאופן בלתי תלוי בימים אחרים. מצאו חסם מלרע להסתברות שמתוך 50 ערבים מקריים ערן יצפה בין 27 ל-43 פעמים (כולל)? היעזרו באי שוויון מתאים.

רמז: התחילו בזיהוי המשתנים המקריים הרלוונטיים וההתפלגויות שלהם. שימו לב שהפרמטר של התפלגות פואסון פרופורציונלי לאורך התקופה הנדונה.

פתרון: נסמן ב-$X$ את מספר הפרסומות המשודרות בין 20:00 ל-21:00. נתון כי ל-$X$ יש **התפלגות פואסון** עם תוחלת 3, כלומר $X \sim \text{Poisson}(\lambda=3)$. פונקציית ההסתברות של $X$ היא $P(X=k) = \frac{e^{-3}3^k}{k!}$ עבור $k=0,1,2,\dots$. **א.** אנו רוצים לחשב את ההסתברות המותנית $P(X \le 3 | X \ge 1)$. לפי הגדרת **הסתברות מותנית**: $$P(X \le 3 | X \ge 1) = \frac{P(\{X \le 3\} \cap \{X \ge 1\})}{P(X \ge 1)} = \frac{P(1 \le X \le 3)}{P(X \ge 1)}$$ נחשב את ההסתברות במכנה: $$P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \frac{e^{-3}3^0}{0!} = 1 - e^{-3}$$ נחשב את ההסתברות במונה: $$P(1 \le X \le 3) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)$$ $$= \frac{e^{-3}3^1}{1!} + \frac{e^{-3}3^2}{2!} + \frac{e^{-3}3^3}{3!} = e^{-3} \left(3 + \frac{9}{2} + \frac{27}{6}\right) = e^{-3} \left(3 + 4.5 + 4.5\right) = 12e^{-3}$$ לכן, ההסתברות המבוקשת היא: $$P(X \le 3 | X \ge 1) = \frac{12e^{-3}}{1 - e^{-3}}$$ **ב.** נסמן ב-$Y$ את מספר הפרסומות בין 20:00 ל-20:30. מכיוון שקצב השידור הוא 3 פרסומות לשעה, פרמטר הפואסון עבור חצי שעה הוא $\lambda_Y = 3 \cdot \frac{1}{2} = 1.5$. לכן, $Y \sim \text{Poisson}(1.5)$. אנו רוצים לחשב את $P(Y=3 | X \ge 1)$. $$P(Y=3 | X \ge 1) = \frac{P(\{Y=3\} \cap \{X \ge 1\})}{P(X \ge 1)}$$ המאורע $\{Y=3\}$ גורר את המאורע $\{X \ge 1\}$ (אם שודרו 3 פרסומות בחצי השעה הראשונה, אז בוודאי שודרה לפחות פרסומת אחת בשעה כולה). לכן, $\{Y=3 \cap X \ge 1\} = \{Y=3\}$. $$P(Y=3 | X \ge 1) = \frac{P(Y=3)}{P(X \ge 1)} = \frac{\frac{e^{-1.5}(1.5)^3}{3!}}{1 - e^{-3}} = \frac{e^{-1.5} \cdot 3.375 / 6}{1 - e^{-3}} = \frac{0.5625 e^{-1.5}}{1 - e^{-3}}$$ **ג.** נסמן ב-$W$ את מספר הפרסומות בין 20:00 ל-20:15. פרק הזמן הוא רבע שעה, ולכן פרמטר הפואסון המתאים הוא $\lambda_W = 3 \cdot \frac{1}{4} = 0.75$. נתון כי $X=5$. אחת מתכונות תהליך פואסון היא שההתפלגות המותנית של מספר האירועים בתת-תקופה, בהינתן המספר הכולל של אירועים בכל התקופה, היא **התפלגות בינומית**. כלומר, $W | (X=n) \sim \text{Binomial}(n, p)$, כאשר $p$ הוא היחס בין אורכי התקופות. במקרה שלנו, $n=5$ ו-$p = \frac{15 \text{ דקות}}{60 \text{ דקות}} = \frac{1}{4}$. לכן, $W | (X=5) \sim \text{Binomial}(5, 1/4)$. **התוחלת** ו**השונות** של התפלגות בינומית $\text{Bin}(n, p)$ הן $np$ ו-$np(1-p)$ בהתאמה. התוחלת המותנית: $$E[W | X=5] = n \cdot p = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1.25$$ השונות המותנית: $$\text{Var}(W | X=5) = n \cdot p \cdot (1-p) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right) = 5 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{16} = 0.9375$$ **ד.** עלינו לחשב את $\text{Cov}(2X, 4-Y)$. נשתמש בתכונות של **שונות משותפת**: $$\text{Cov}(2X, 4-Y) = \text{Cov}(2X, -Y+4) = 2 \cdot (-1) \cdot \text{Cov}(X, Y) = -2 \text{Cov}(X, Y)$$ כדי לחשב את $\text{Cov}(X, Y)$, נסמן ב-$Z$ את מספר הפרסומות בין 20:30-21:00. אז $Z \sim \text{Poisson}(1.5)$ ומתקיים $X=Y+Z$. בתהליך פואסון, מספר האירועים בתקופות זמן זרות הוא **בלתי תלוי**, לכן $Y$ ו-$Z$ בלתי תלויים. $$\text{Cov}(X, Y) = \text{Cov}(Y+Z, Y) = \text{Cov}(Y, Y) + \text{Cov}(Z, Y)$$ מאחר ש-$Y, Z$ בלתי תלויים, $\text{Cov}(Z, Y) = 0$. כמו כן, $\text{Cov}(Y, Y) = \text{Var}(Y)$. עבור $Y \sim \text{Poisson}(1.5)$, השונות היא $\text{Var}(Y) = \lambda_Y = 1.5$. לכן, $\text{Cov}(X, Y) = 1.5$. נציב זאת חזרה: $$\text{Cov}(2X, 4-Y) = -2 \cdot 1.5 = -3$$ **ה.** נסמן ב-$S_{50}$ את מספר הערבים שערן צופה בטלוויזיה מתוך 50. כל ערב הוא ניסוי ברנולי בלתי תלוי עם הסתברות להצלחה $p=0.7$. לכן, $S_{50} \sim \text{Binomial}(n=50, p=0.7)$. אנו רוצים למצוא חסם מלרע להסתברות $P(27 \le S_{50} \le 43)$. נשתמש ב**אי-שוויון צ'בישב**: $P(|W-\mu| \ge k) \le \frac{\sigma^2}{k^2}$. נחשב את התוחלת והשונות של $S_{50}$: $$\mu = E[S_{50}] = np = 50 \cdot 0.7 = 35$$ $$\sigma^2 = \text{Var}(S_{50}) = np(1-p) = 50 \cdot 0.7 \cdot 0.3 = 10.5$$ המאורע $27 \le S_{50} \le 43$ שקול למאורע $|S_{50} - 35| \le 8$. אנו רוצים למצוא חסם תחתון ל-$P(|S_{50} - 35| \le 8)$. זהו המאורע המשלים ל-$|S_{50} - 35| > 8$. מכיוון ש-$S_{50}$ הוא משתנה בדיד, זה שקול ל-$|S_{50} - 35| \ge 9$. לפי אי-שוויון צ'בישב (עם $k=9$): $$P(|S_{50} - 35| \ge 9) \le \frac{\sigma^2}{9^2} = \frac{10.5}{81}$$ לכן, ההסתברות המבוקשת היא: $$P(|S_{50} - 35| \le 8) = 1 - P(|S_{50} - 35| > 8) = 1 - P(|S_{50} - 35| \ge 9) \ge 1 - \frac{10.5}{81}$$ $$1 - \frac{10.5}{81} = 1 - \frac{21/2}{81} = 1 - \frac{21}{162} = 1 - \frac{7}{54} = \frac{47}{54}$$ החסם המלרע המבוקש הוא $\frac{47}{54}$. $\blacksquare$