שאלת מבחן בהסתברות - האוניברסיטה הפתוחה 2023 - משתנה מקרי רציף

חברה לתיקוני-דרך של כלי-רכב שולחת, לפי בקשת לקוחות הפונים אליה, טכנאֵ י-רכב. נניח, שמייד עם קבלת פנייה מלקוח, החברה שולחת אליו טכנאי. התפלגות זמן ההמתנה (בשעות) של לקוח, מרגע פנייתו לחברה ועד שהטכנאי מגיע אליו, מוגדרת על-ידי פונקציית הצפיפות שלהלן: $$f_X(x) = \begin{cases} ax & , 0 \leq x \leq 1 \\ a & , 1 < x \leq 2 \\ a(3-x) & , 2 < x \leq 3 \\ 0 & , \text{אחרת} \end{cases}$$ א. חשבו את $a$. ב. מהי התוחלת של $\sqrt{X}$? ג. מהי ההסתברות שלקוח ימתין יותר משעתיים ורבע? ד. לקוח מיואש מחכה כבר שעה ורבע. מהי ההסתברות שייאלץ להמתין לפחות עוד שעה? ה. ביום מסוים התקבלו בחברה 50 פניות בלתי-תלויות זו בזו. מהי שונות מספר הלקוחות שפנו ביום זה והמתינו פחות משעה עד להגעת טכנאי?

רמז: בסעיף א', השתמשו בעובדה שהאינטגרל על פונקציית הצפיפות על כל התחום שלה שווה ל-1. בסעיפים הבאים, זכרו להשתמש בערך של $a$ שמצאתם.

פתרון: **א. חישוב הקבוע $a$** על מנת ש-$f_X(x)$ תהיה **פונקציית צפיפות** חוקית, האינטגרל שלה על פני כל הישר הממשי חייב להיות שווה ל-1. $$ \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x) dx = 1 $$ במקרה שלנו, הפונקציה שונה מאפס רק בתחום $[0, 3]$. לכן, נחשב את האינטגרל בתחום זה ונשווה ל-1: $$ \int_0^3 f_X(x) dx = \int_0^1 ax \,dx + \int_1^2 a \,dx + \int_2^3 a(3-x) \,dx = 1 $$ נחשב כל אינטגרל בנפרד: $$ \int_0^1 ax \,dx = a \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = a \left( \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = \frac{a}{2} $$ $$ \int_1^2 a \,dx = a [x]_1^2 = a(2-1) = a $$ $$ \int_2^3 a(3-x) \,dx = a \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_2^3 = a \left[ \left(3 \cdot 3 - \frac{3^2}{2}\right) - \left(3 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) \right] = a \left[ \left(9 - \frac{9}{2}\right) - (6 - 2) \right] = a \left( \frac{9}{2} - 4 \right) = \frac{a}{2} $$ כעת נסכום את התוצאות ונשווה ל-1: $$ \frac{a}{2} + a + \frac{a}{2} = 1 $$ $$ 2a = 1 \implies a = \frac{1}{2} $$ לכן, פונקציית הצפיפות היא: $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{x}{2} & , 0 \leq x \leq 1 \\ \frac{1}{2} & , 1 < x \leq 2 \\ \frac{3-x}{2} & , 2 < x \leq 3 \\ 0 & , \text{אחרת} \end{cases} $$ **ב. חישוב התוחלת של $\sqrt{X}$** **התוחלת** של פונקציה $g(X)$ של משתנה מקרי רציף $X$ נתונה על ידי $E[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)dx$. במקרה שלנו, $g(x) = \sqrt{x}$. $$ E[\sqrt{X}] = \int_0^3 \sqrt{x} f_X(x) dx = \int_0^1 \sqrt{x} \left(\frac{x}{2}\right) dx + \int_1^2 \sqrt{x} \left(\frac{1}{2}\right) dx + \int_2^3 \sqrt{x} \left(\frac{3-x}{2}\right) dx $$ נחשב כל אינטגרל: $$ \int_0^1 \frac{x^{3/2}}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_0^1 = \frac{1}{5} [x^{5/2}]_0^1 = \frac{1}{5}(1-0) = \frac{1}{5} $$ $$ \int_1^2 \frac{x^{1/2}}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_1^2 = \frac{1}{3} [x^{3/2}]_1^2 = \frac{1}{3}(2^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{2\sqrt{2}-1}{3} $$ $$ \int_2^3 \frac{3\sqrt{x}-x\sqrt{x}}{2} dx = \frac{1}{2} \int_2^3 (3x^{1/2} - x^{3/2}) dx = \frac{1}{2} \left[ 3\frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{x^{5/2}}{5/2} \right]_2^3 = \frac{1}{2} \left[ 2x^{3/2} - \frac{2}{5}x^{5/2} \right]_2^3 $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \left(2 \cdot 3^{3/2} - \frac{2}{5} \cdot 3^{5/2}\right) - \left(2 \cdot 2^{3/2} - \frac{2}{5} \cdot 2^{5/2}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \left(6\sqrt{3} - \frac{18\sqrt{3}}{5}\right) - \left(4\sqrt{2} - \frac{8\sqrt{2}}{5}\right) \right] $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{12\sqrt{3}}{5} - \frac{12\sqrt{2}}{5} \right] = \frac{6}{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) $$ נסכום את כל החלקים: $$ E[\sqrt{X}] = \frac{1}{5} + \frac{2\sqrt{2}-1}{3} + \frac{6}{5}(\sqrt{3}-\sqrt{2}) = \frac{3 + 5(2\sqrt{2}-1) + 18(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{15} $$ $$ = \frac{3 + 10\sqrt{2}-5 + 18\sqrt{3}-18\sqrt{2}}{15} = \frac{18\sqrt{3} - 8\sqrt{2} - 2}{15} $$ **ג. ההסתברות שלקוח ימתין יותר משעתיים ורבע** אנחנו צריכים לחשב את $P(X > 2.25)$. $$ P(X > 2.25) = \int_{2.25}^{\infty} f_X(x) dx = \int_{2.25}^{3} \frac{3-x}{2} dx $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2.25}^{3} = \frac{1}{2} \left[ \left(9 - \frac{9}{2}\right) - \left(3 \cdot \frac{9}{4} - \frac{(9/4)^2}{2}\right) \right] $$ $$ = \frac{1}{2} \left[ \frac{9}{2} - \left(\frac{27}{4} - \frac{81}{32}\right) \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{144}{32} - \left(\frac{216}{32} - \frac{81}{32}\right) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{144 - 135}{32} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{32} = \frac{9}{64} $$ **ד. הסתברות מותנית** הלקוח מחכה כבר שעה ורבע, כלומר $X \geq 1.25$. אנו רוצים למצוא את ההסתברות שייאלץ להמתין לפחות עוד שעה, כלומר $X \geq 1.25 + 1 = 2.25$. זוהי **הסתברות מותנית**: $$ P(X \geq 2.25 \mid X \geq 1.25) = \frac{P(X \geq 2.25 \cap X \geq 1.25)}{P(X \geq 1.25)} $$ החיתוך של שני המאורעות הוא פשוט $X \geq 2.25$. לכן: $$ P(X \geq 2.25 \mid X \geq 1.25) = \frac{P(X \geq 2.25)}{P(X \geq 1.25)} $$ את המונה חישבנו בסעיף ג': $P(X \geq 2.25) = 9/64$. נחשב את המכנה: $$ P(X \geq 1.25) = \int_{1.25}^{\infty} f_X(x) dx = \int_{1.25}^{2} \frac{1}{2} dx + \int_{2}^{3} \frac{3-x}{2} dx $$ האינטגרל השני הוא שטח המשולש מהגדרת הפונקציה, שכבר חישבנו בסעיף א' שהוא $a/2 = (1/2)/2 = 1/4$. $$ \int_{1.25}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} [x]_{1.25}^{2} = \frac{1}{2}(2-1.25) = \frac{1}{2}(0.75) = \frac{3}{8} $$ $$ P(X \geq 1.25) = \frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8} $$ ולבסוף: $$ P(X \geq 2.25 \mid X \geq 1.25) = \frac{9/64}{5/8} = \frac{9}{64} \cdot \frac{8}{5} = \frac{9}{40} $$ **ה. שונות מספר הלקוחות** ביום מסוים יש $n=50$ פניות (ניסויים) בלתי-תלויות. נגדיר "הצלחה" כלקוח שהמתין פחות משעה ($X<1$). ההסתברות להצלחה בניסוי בודד היא: $$ p = P(X < 1) = \int_0^1 f_X(x) dx = \int_0^1 \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^1 = \frac{1^2}{4} - \frac{0^2}{4} = \frac{1}{4} $$ נסמן ב-$Y$ את מספר הלקוחות שהמתינו פחות משעה. $Y$ הוא משתנה מקרי המתאר את מספר ההצלחות ב-$n=50$ ניסויי ברנולי בלתי-תלויים עם הסתברות להצלחה $p=1/4$. לכן, $Y$ מתפלג **התפלגות בינומית**: $Y \sim \text{Bin}(n=50, p=1/4)$. השאלה היא על **השונות** של $Y$. השונות של משתנה מקרי בינומי נתונה בנוסחה $Var(Y) = np(1-p)$. $$ Var(Y) = 50 \cdot \frac{1}{4} \cdot \left(1-\frac{1}{4}\right) = 50 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{150}{16} = \frac{75}{8} = 9.375 $$ $\blacksquare$