שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2026 - אי-שוויון מרקוב

יהא $X$ משתנה מקרי (לאו דוקא אי-שלילי). סעיף א: (10 נק') הוכח כי לכל $a > 0$ מתקים: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{V[X] + (E[X])^2}{a}$. סעיף ב: (15 נק') ידוע כי $-b \leq X \leq b$ רציף, וכן כי $f_X(x) \leq \frac{1}{2x^2}$. הוכח כי לכל $a > 0$ מתקים: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{b}{a}$.

רמז: סעיף א': השתמשו באי-שוויון מרקוב עבור המשתנה המקרי $Y=X^2$. סעיף ב': השתמשו בתוצאת סעיף א' וחסמו את $E[X^2]$ באמצעות הנתונים על פונקציית הצפיפות.

פתרון: סעיף א: מטרתנו להוכיח כי לכל $a > 0$ מתקיים $P(X^2 \geq a) \leq \frac{V[X] + (E[X])^2}{a}$. נגדיר משתנה מקרי חדש $Y = X^2$. מאחר שריבוע של מספר ממשי הוא תמיד אי-שלילי, $Y$ הוא **משתנה מקרי אי-שלילי**. כעת, ניתן להשתמש ב**אי-שוויון מרקוב** על המשתנה המקרי $Y$. אי-שוויון מרקוב קובע כי לכל משתנה מקרי אי-שלילי $Y$ ולכל קבוע $a > 0$, מתקיים: $P(Y \geq a) \leq \frac{E[Y]}{a}$. נציב חזרה את $Y=X^2$ באי-השוויון ונקבל: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{E[X^2]}{a}$. כעת, נשתמש בהגדרת ה**שונות** של משתנה מקרי $X$: $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$. מתוך הגדרה זו, נוכל לבודד את המומנט השני של $X$: $E[X^2] = V[X] + (E[X])^2$. נציב ביטוי זה באי-השוויון שקיבלנו קודם: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{V[X] + (E[X])^2}{a}$. וזה בדיוק מה שנדרשנו להוכיח. $\blacksquare$ סעיף ב: מטרתנו להוכיח כי לכל $a > 0$ מתקיים $P(X^2 \geq a) \leq \frac{b}{a}$. מההוכחה בסעיף א' (או ישירות מ**אי-שוויון מרקוב** עבור $Y=X^2$), אנו יודעים כי: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{E[X^2]}{a}$. כדי להשלים את ההוכחה, עלינו להראות כי $E[X^2] \leq b$ תחת התנאים הנתונים. ה**תוחלת** של $X^2$ עבור **משתנה מקרי רציף** נתונה על ידי האינטגרל: $E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx$. נתון כי התומך של $X$ הוא בקטע $[-b, b]$, כלומר $f_X(x) = 0$ לכל $x$ כך ש-$|x| > b$. לכן, נוכל לשנות את גבולות האינטגרציה: $E[X^2] = \int_{-b}^{b} x^2 f_X(x) dx$. בנוסף, נתון חסם על **פונקציית הצפיפות**: $f_X(x) \leq \frac{1}{2x^2}$. נשתמש בחסם זה כדי לחסום את האינטגרל: $E[X^2] = \int_{-b}^{b} x^2 f_X(x) dx \leq \int_{-b}^{b} x^2 \cdot \left(\frac{1}{2x^2}\right) dx = \int_{-b}^{b} \frac{1}{2} dx$. כעת נחשב את האינטגרל הפשוט שקיבלנו: $\int_{-b}^{b} \frac{1}{2} dx = \left[ \frac{x}{2} \right]_{-b}^{b} = \frac{b}{2} - \left(-\frac{b}{2}\right) = \frac{b}{2} + \frac{b}{2} = b$. הראינו כי $E[X^2] \leq b$. נציב חסם זה בחזרה באי-השוויון הראשוני: $P(X^2 \geq a) \leq \frac{E[X^2]}{a} \leq \frac{b}{a}$. בכך הוכחנו את הנדרש. $\blacksquare$