שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2018

סמסטר: ב

נושאים: מגנטיזציה, חומרים מגנטיים, משוואת לפלס, עוצמת שדה מגנטי, שדה מגנטי, אנרגיה מגנטית, תנאי רציפות

רמת קושי: קשה

התקן בנוי מגליל ברדיוס $R_1$ מחומר מגנטי בעל וקטור מגנוט $\vec M_1$, המוכנס לקליפה גלילית עבה (רדיוס פנימי $R_1$, חיצוני $R_2$) בעלת וקטור מגנוט $\vec M_2$. מחוץ להתקן ריק. הנחות: ההתקן אינסופי בכיוון $z$, אין שינוי בזמן, והפוטנציאלים אינם מתבדרים ב-$r\to\infty$. לכל אורך השאלה $$\vec M_1=M_0\!\left(\sin\theta\,\hat r+\left(\cos\theta+\dfrac{R_1}{r}\right)\hat\theta\right)$$ כאשר $M_0$ קבוע. עבור סעיפים א-ג הצורה הכללית של $\vec M_2=\alpha(\theta)\hat r+\beta(\theta)\hat\theta$, המקיים $\nabla\cdot\vec M_2=0$; צפיפות מטען המגנוט על $r=R_1$ היא $\rho_{sm}=2\mu_0M_0\sin\theta$. **א.** מהן הפונקציות $\alpha(\theta),\beta(\theta)$ בהינתן $\beta(\theta=\tfrac{\pi}{2})=0$? **ב.** מהו סך מטען המגנוט ליחידת אורך ב-$\hat z$ על המשטחים $r=R_1$ ו-$r=R_2$? **ג.** מהי צפיפות הזרם המגנטי הנפחי $\vec J_M$ בכל המרחב? עבור כל הסעיפים הבאים $\vec M_2=\vec 0$ (הקליפה מוחלפת בריק), כך שיש רק שני תחומים. **ד.** האם ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי $U_m$? התייחסו לכל תחום בנפרד. **ה.** מהם תנאי השפה עבור $U_m$ ונגזרותיו בכל תחום (הפוטנציאל אינו מתבדר)? **ו.** פתרו את הפוטנציאל בכל המרחב. **ז.** מהו השדה המגנטי בכל המרחב? **ח.** מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל נקודה במרחב?

רמז: תנאי הקפיצה של המגנוט הנורמלי ב-$R_1$ נותן $\alpha=-M_0\sin\theta$, ו-$\nabla\cdot\vec M_2=0$ נותן $\beta=-M_0\cos\theta$; $\vec J_M=\nabla\times\vec M=0$ בכל מקום. כשהקליפה ריקה, $\rho_{sm}=\mu_0M_0\sin\theta$ מזין בעיית לפלס דיפולרית ($U_m\propto r\sin\theta$ בפנים, $\propto\sin\theta/r$ בחוץ) עם $H_{in}=-\frac{M_0}{2}\hat y$ אחיד.

פתרון: **א.** מתנאי הקפיצה ברכיב הנורמלי של המגנוט ב-$r=R_1$: $\rho_{sm}=-\hat r\cdot\mu_0(\vec M_2-\vec M_1)=2\mu_0M_0\sin\theta$, ומכאן $-M_{2,r}+M_0\sin\theta=2M_0\sin\theta\Rightarrow M_{2,r}=-M_0\sin\theta$, כלומר $\alpha(\theta)=-M_0\sin\theta$. מ-$\nabla\cdot\vec M_2=0$: $$\dfrac1r\partial_r(rM_{2,r})+\dfrac1r\partial_\theta M_{2,\theta}=0\Rightarrow-\partial_r(rM_0\sin\theta)+\partial_\theta M_{2,\theta}=0\Rightarrow\partial_\theta M_{2,\theta}=M_0\sin\theta$$ ולכן $M_{2,\theta}=-M_0\cos\theta+C$; מהתנאי $\beta(\tfrac\pi2)=0$ נובע $C=0$, כך ש-$\beta(\theta)=-M_0\cos\theta$. סה"כ $\vec M_2=-M_0\sin\theta\,\hat r-M_0\cos\theta\,\hat\theta$. **ב.** סך מטען המגנוט ליחידת אורך הוא **אפס**: אין מטען מגנוט נפחי ($\nabla\cdot\vec M=0$ בכל תחום), ומכאן שסך המטען המשטחי חייב להתאפס. **ג.** $\vec J_M=\nabla\times\vec M=\dfrac1r\!\left[\partial_r(rM_\theta)-\partial_\theta M_r\right]\hat z$. עבור $\vec M_1$: $\partial_r(rM_0(\cos\theta+\tfrac{R_1}{r}))=M_0\cos\theta$ ו-$\partial_\theta(M_0\sin\theta)=M_0\cos\theta$, ולכן $\vec J_M=0$ ($r<R_1$). באופן דומה $\vec J_M=0$ ב-$R_1<r<R_2$ וב-$r>R_2$. סה"כ $\vec J_M=\vec 0$ בכל המרחב. **ד.** כן. אין זרם חופשי/הולכה ואין שינוי בזמן, ולכן $\nabla\times\vec H=0$ ומוגדר $U_m$ עם $\vec H=-\nabla U_m$. בתחום $r>R_1$ (ריק) המשוואה היא לפלס; בתחום $r<R_1$ מתקיים $\nabla\cdot\vec M_1=0$, ולכן גם שם המשוואה לפלס. **ה.** צפיפות המטען המשטחי ב-$r=R_1$: $\rho_{sm}=-\hat r\cdot\mu_0(\vec M_{out}-\vec M_{in})=\mu_0M_0\sin\theta$. תנאי השפה: $$\nabla^2U_m=0,\quad U_m(R_1^+)=U_m(R_1^-),\quad M_0\sin\theta=-\dfrac{\partial U_m(R_1^+)}{\partial r}+\dfrac{\partial U_m(R_1^-)}{\partial r},\quad |U_m(r\to\infty)|<\infty$$ **ו.** פתרונות דיפולריים (רגולרי בפנים, דועך בחוץ): $U_m(r<R_1)=Cr\sin\theta$, $U_m(r>R_1)=Br^{-1}\sin\theta$. הצבת תנאי השפה נותנת $\dfrac{B}{R_1^2}=C$ ו-$M_0=\dfrac{B}{R_1^2}+C$, ומכאן $B=\dfrac{R_1^2M_0}{2}$, $C=\dfrac{M_0}{2}$: $$U_m(r<R_1)=\dfrac{M_0r}{2}\sin\theta,\qquad U_m(r>R_1)=\dfrac{R_1^2M_0}{2r}\sin\theta$$ **ז.** $\vec H=-\nabla U_m$: $$\vec H(r<R_1)=-\dfrac{M_0}{2}\big(\sin\theta\,\hat r+\cos\theta\,\hat\theta\big)=-\dfrac{M_0}{2}\hat y,$$ $$\vec H(r>R_1)=\dfrac{R_1^2M_0}{2r^2}\big(\sin\theta\,\hat r-\cos\theta\,\hat\theta\big)$$ **ח.** $w_m=\tfrac12\vec B\cdot\vec H$ עם $\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)$. עבור $r<R_1$ (עם $\vec M_1$) מתקבל $$w_m(r<R_1)=-\dfrac{\mu_0M_0^2}{8}\!\left(1+\dfrac{2R_1}{r}\cos\theta\right),$$ ועבור $r>R_1$ (ריק, $\vec B=\mu_0\vec H$): $$w_m(r>R_1)=\dfrac{\mu_0M_0^2R_1^4}{8r^4}$$ $\blacksquare$

התקן בנוי מגליל ברדיוס

R_{1}

מחומר מגנטי בעל וקטור מגנוט

M_{1}

, המוכנס לקליפה גלילית עבה (רדיוס פנימי

R_{1}

, חיצוני

R_{2}

) בעלת וקטור מגנוט

M_{2}

. מחוץ להתקן ריק. הנחות: ההתקן אינסופי בכיוון

z

, אין שינוי בזמן, והפוטנציאלים אינם מתבדרים ב-

r \to \infty

. לכל אורך השאלה

M_{1} = M_{0} (sin θ \overset{r}{^} + (cos θ + \frac{R _{1}}{r}) \hat{θ})

כאשר

M_{0}

קבוע.

עבור סעיפים א-ג הצורה הכללית של

M_{2} = α (θ) \overset{r}{^} + β (θ) \hat{θ}

, המקיים

\nabla \cdot M_{2} = 0

; צפיפות מטען המגנוט על

r = R_{1}

היא

ρ_{s m} = 2 μ_{0} M_{0} sin θ

.

א. מהן הפונקציות

α (θ), β (θ)

בהינתן

β (θ = \frac{π}{2}) = 0

?

ב. מהו סך מטען המגנוט ליחידת אורך ב-

\overset{z}{^}

על המשטחים

r = R_{1}

ו-

r = R_{2}

?

ג. מהי צפיפות הזרם המגנטי הנפחי

J_{M}

בכל המרחב?

עבור כל הסעיפים הבאים

M_{2} = 0

(הקליפה מוחלפת בריק), כך שיש רק שני תחומים.

ד. האם ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי

U_{m}

? התייחסו לכל תחום בנפרד.

ה. מהם תנאי השפה עבור

U_{m}

ונגזרותיו בכל תחום (הפוטנציאל אינו מתבדר)?

ו. פתרו את הפוטנציאל בכל המרחב.

ז. מהו השדה המגנטי בכל המרחב?

ח. מהי צפיפות האנרגיה המגנטית בכל נקודה במרחב?

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2018 · סמסטר ב

★★★★★

מגנטיזציהחומרים מגנטייםמשוואת לפלסעוצמת שדה מגנטישדה מגנטיאנרגיה מגנטיתתנאי רציפות

תנאי הקפיצה של המגנוט הנורמלי ב-

R_{1}

נותן

α = - M_{0} sin θ

, ו-

\nabla \cdot M_{2} = 0

נותן

β = - M_{0} cos θ

;

J_{M} = \nabla \times M = 0

בכל מקום. כשהקליפה ריקה,

ρ_{s m} = μ_{0} M_{0} sin θ

מזין בעיית לפלס דיפולרית (

U_{m} \propto r sin θ

בפנים,

\propto sin θ / r

בחוץ) עם

H_{in} = - \frac{M _{0}}{2} \overset{y}{^}

אחיד.

א. מתנאי הקפיצה ברכיב הנורמלי של המגנוט ב-

r = R_{1}

ρ_{s m} = - \overset{r}{^} \cdot μ_{0} (M_{2} - M_{1}) = 2 μ_{0} M_{0} sin θ

, ומכאן

- M_{2, r} + M_{0} sin θ = 2 M_{0} sin θ \Rightarrow M_{2, r} = - M_{0} sin θ

, כלומר

α (θ) = - M_{0} sin θ

. מ-

\nabla \cdot M_{2} = 0

\frac{1}{r} \partial_{r} (r M_{2, r}) + \frac{1}{r} \partial_{θ} M_{2, θ} = 0 \Rightarrow - \partial_{r} (r M_{0} sin θ) + \partial_{θ} M_{2, θ} = 0 \Rightarrow \partial_{θ} M_{2, θ} = M_{0} sin θ

ולכן

M_{2, θ} = - M_{0} cos θ + C

; מהתנאי

β (\frac{π}{2}) = 0

נובע

C = 0

, כך ש-

β (θ) = - M_{0} cos θ

. סה"כ

M_{2} = - M_{0} sin θ \overset{r}{^} - M_{0} cos θ \hat{θ}

.

ב. סך מטען המגנוט ליחידת אורך הוא אפס: אין מטען מגנוט נפחי (

\nabla \cdot M = 0

בכל תחום), ומכאן שסך המטען המשטחי חייב להתאפס.

ג.

J_{M} = \nabla \times M = \frac{1}{r} [\partial_{r} (r M_{θ}) - \partial_{θ} M_{r}] \overset{z}{^}

. עבור

M_{1}

\partial_{r} (r M_{0} (cos θ + \frac{R _{1}}{r})) = M_{0} cos θ

ו-

\partial_{θ} (M_{0} sin θ) = M_{0} cos θ

, ולכן

J_{M} = 0

(

r < R_{1}

). באופן דומה

J_{M} = 0

ב-

R_{1} < r < R_{2}

וב-

r > R_{2}

. סה"כ

J_{M} = 0

בכל המרחב.

ד. כן. אין זרם חופשי/הולכה ואין שינוי בזמן, ולכן

\nabla \times H = 0

ומוגדר

U_{m}

עם

H = - \nabla U_{m}

. בתחום

r > R_{1}

(ריק) המשוואה היא לפלס; בתחום

r < R_{1}

מתקיים

\nabla \cdot M_{1} = 0

, ולכן גם שם המשוואה לפלס.

ה. צפיפות המטען המשטחי ב-

r = R_{1}

ρ_{s m} = - \overset{r}{^} \cdot μ_{0} (M_{o u t} - M_{in}) = μ_{0} M_{0} sin θ

. תנאי השפה:

\nabla^{2} U_{m} = 0, U_{m} (R_{1}^{+}) = U_{m} (R_{1}^{-}), M_{0} sin θ = - \frac{\partial U _{m} ( R _{1}^{+} )}{\partial r} + \frac{\partial U _{m} ( R _{1}^{-} )}{\partial r}, ∣ U_{m} (r \to \infty) ∣ < \infty

ו. פתרונות דיפולריים (רגולרי בפנים, דועך בחוץ):

U_{m} (r < R_{1}) = C r sin θ

U_{m} (r > R_{1}) = B r^{- 1} sin θ

. הצבת תנאי השפה נותנת

\frac{B}{R _{1}^{2}} = C

ו-

M_{0} = \frac{B}{R _{1}^{2}} + C

, ומכאן

B = \frac{R _{1}^{2} M _{0}}{2}

C = \frac{M _{0}}{2}

U_{m} (r < R_{1}) = \frac{M _{0} r}{2} sin θ, U_{m} (r > R_{1}) = \frac{R _{1}^{2} M _{0}}{2 r} sin θ

ז.

H = - \nabla U_{m}

H (r < R_{1}) = - \frac{M _{0}}{2} (sin θ \overset{r}{^} + cos θ \hat{θ}) = - \frac{M _{0}}{2} \overset{y}{^},

H (r > R_{1}) = \frac{R _{1}^{2} M _{0}}{2 r ^{2}} (sin θ \overset{r}{^} - cos θ \hat{θ})

ח.

w_{m} = \frac{1}{2} B \cdot H

עם

B = μ_{0} (H + M)

. עבור

r < R_{1}

(עם

M_{1}

) מתקבל

w_{m} (r < R_{1}) = - \frac{μ _{0} M _{0}^{2}}{8} (1 + \frac{2 R _{1}}{r} cos θ),

ועבור

r > R_{1}

(ריק,

B = μ_{0} H

w_{m} (r > R_{1}) = \frac{μ _{0} M _{0}^{2} R _{1}^{4}}{8 r ^{4}}

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018 - מגנטיזציה