שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2017 - התפלגות משותפת

נתונה פונקציית הצפיפות המשותפת של המשתנים הרציפים $X$ ו-$Y$: $$f(x,y) = -cxye^{-x+7y}$$ $$0 < x, 0 > y$$ א. מצאו את $C$. ב. מצאו את פונקציית הצפיפות של $X$ ואת פונקציית הצפיפות של $Y$. ג. האם $X$ ו-$Y$ הם בלתי תלויים? ד. חישבו את $P(X + Y < 1)$. תוכלו להעזר באינטגרלים הבא בפתרון: $$\int ae^{-ax} dx = -e^{-ax}$$ $$\int axe^{-ax} dx = -e^{-ax}(x + \frac{1}{a})$$ $$\int ax^2 e^{-ax} dx = -e^{-ax}(\frac{2}{a^2} + \frac{2}{a}x + x^2)$$

רמז: כדי למצוא את הקבוע $C$, השתמשו בתכונת הנרמול של פונקציית צפיפות. לאחר מכן, חשבו את ההסתברות המבוקשת באמצעות אינטגרל כפול על התחום המתאים.

פתרון: א. כדי למצוא את הקבוע $C$, נשתמש בתכונת ה**נרמול** של פונקציית צפיפות, לפיה האינטגרל של פונקציית הצפיפות על פני כל המרחב שווה ל-1. $$ \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dx \,dy = 1 $$ בתחום הנתון $x>0, y<0$, האינטגרל הוא: $$ \int_{-\infty}^{0} \int_{0}^{\infty} -cxye^{-x+7y} \,dx \,dy = 1 $$ ניתן להפריד את האינטגרל למכפלת אינטגרלים, מכיוון שהפונקציה פרידה והתחום הוא מלבני: $$ -c \left( \int_{0}^{\infty} xe^{-x} \,dx \right) \left( \int_{-\infty}^{0} ye^{7y} \,dy \right) = 1 $$ נחשב כל אינטגרל בנפרד בעזרת אינטגרציה בחלקים (או הנוסחאות הנתונות). עבור האינטגרל הראשון (עם $a=1$ בנוסחה $\int axe^{-ax} dx$): $$ \int_{0}^{\infty} xe^{-x} \,dx = [-(x+1)e^{-x}]_{0}^{\infty} = (0) - (-(0+1)e^0) = 1 $$ עבור האינטגרל השני, נשתמש באינטגרציה בחלקים: $u=y, dv=e^{7y}dy$. $$ \int ye^{7y} \,dy = \frac{y}{7}e^{7y} - \int \frac{1}{7}e^{7y} \,dy = e^{7y} \left(\frac{y}{7} - \frac{1}{49}\right) $$ $$ \int_{-\infty}^{0} ye^{7y} \,dy = \left[ e^{7y} \left(\frac{y}{7} - \frac{1}{49}\right) \right]_{-\infty}^{0} = \left( e^0 \left(0 - \frac{1}{49}\right) \right) - (0) = -\frac{1}{49} $$ נציב את תוצאות האינטגרלים במשוואת הנרמול: $$ -c \cdot (1) \cdot \left(-\frac{1}{49}\right) = 1 \implies \frac{c}{49} = 1 \implies c=49 $$ לכן, פונקציית הצפיפות המשותפת היא $f(x,y) = -49xye^{-x+7y}$ עבור $x>0, y<0$. ב. כדי למצוא את **פונקציות הצפיפות השוליות**, נבצע אינטגרציה על המשתנה השני. פונקציית הצפיפות השולית של $X$: $$ f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dy = \int_{-\infty}^{0} -49xye^{-x+7y} \,dy $$ $$ = -49xe^{-x} \int_{-\infty}^{0} ye^{7y} \,dy = -49xe^{-x} \left(-\frac{1}{49}\right) = xe^{-x}, \quad x>0 $$ פונקציית הצפיפות השולית של $Y$: $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dx = \int_{0}^{\infty} -49xye^{-x+7y} \,dx $$ $$ = -49ye^{7y} \int_{0}^{\infty} xe^{-x} \,dx = -49ye^{7y} (1) = -49ye^{7y}, \quad y<0 $$ ג. שני משתנים מקריים $X$ ו-$Y$ הם **בלתי תלויים** אם ורק אם פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם שווה למכפלת פונקציות הצפיפות השוליות שלהם, $f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)$. נבדוק את התנאי: $$ f_X(x)f_Y(y) = (xe^{-x})(-49ye^{7y}) = -49xye^{-x+7y} $$ זוהי בדיוק פונקציית הצפיפות המשותפת $f(x,y)$. לכן, $X$ ו-$Y$ הם בלתי תלויים. ד. נחשב את ההסתברות $P(X + Y < 1)$. עלינו לחשב את האינטגרל הכפול של $f(x,y)$ על התחום $D = \{(x,y) | x>0, y<0, x+y<1\}$. נבחר לבצע אינטגרציה קודם לפי $x$ ואז לפי $y$. התחום ניתן לכתיבה גם כך: $y<0$ ו- $0 < x < 1-y$. (התנאי $1-y>0$ מתקיים תמיד כי $y<0$). $$ P(X+Y<1) = \iint_D f(x,y) \,dx \,dy = \int_{-\infty}^{0} \int_{0}^{1-y} -49xye^{-x+7y} \,dx \,dy $$ $$ = \int_{-\infty}^{0} -49ye^{7y} \left( \int_{0}^{1-y} xe^{-x} \,dx \right) \,dy $$ נחשב את האינטגרל הפנימי: $$ \int_{0}^{1-y} xe^{-x} \,dx = [-(x+1)e^{-x}]_{0}^{1-y} = -(1-y+1)e^{-(1-y)} - (-(0+1)e^0) = 1 - (2-y)e^{y-1} $$ נציב בחזרה באינטגרל החיצוני: $$ \int_{-\infty}^{0} -49ye^{7y} \left( 1 - (2-y)e^{y-1} \right) \,dy $$ נפצל את האינטגרל: $$ = \int_{-\infty}^{0} -49ye^{7y} \,dy - \int_{-\infty}^{0} -49ye^{7y}(2-y)e^{y-1} \,dy $$ האינטגרל הראשון הוא $\int_{-\infty}^{0} f_Y(y) \,dy = 1$. האינטגרל השני הוא: $$ \int_{-\infty}^{0} 49y(2-y)e^{8y-1} \,dy = 49e^{-1} \int_{-\infty}^{0} (2y-y^2)e^{8y} \,dy $$ $$ = 49e^{-1} \left[ 2 \int_{-\infty}^{0} ye^{8y} \,dy - \int_{-\infty}^{0} y^2e^{8y} \,dy \right] $$ נשתמש בנוסחאות הנתונות (עם החלפת משתנים $z=-y, a=8$): $$ \int_{-\infty}^{0} ye^{8y} \,dy = -\int_{0}^{\infty} ze^{-8z} \,dz = -\frac{1}{8^2} = -\frac{1}{64} $$ $$ \int_{-\infty}^{0} y^2e^{8y} \,dy = \int_{0}^{\infty} z^2e^{-8z} \,dz = \frac{2}{8^3} = \frac{2}{512} = \frac{1}{256} $$ נציב בחזרה: $$ 49e^{-1} \left[ 2\left(-\frac{1}{64}\right) - \frac{1}{256} \right] = 49e^{-1} \left[ -\frac{1}{32} - \frac{1}{256} \right] = 49e^{-1} \left[ -\frac{8}{256} - \frac{1}{256} \right] = 49e^{-1} \left( -\frac{9}{256} \right) = -\frac{441}{256e} $$ ההסתברות הכוללת היא ההפרש בין שני חלקי האינטגרל: $$ P(X+Y<1) = 1 - \left( -\frac{441}{256e} \right) = 1 + \frac{441}{256e} $$ בדיקה מהירה של הסימן בחלוקת האינטגרל מראה: $$ \int_{-\infty}^{0} -49ye^{7y} \,dy + \int_{-\infty}^{0} 49y(2-y)e^{8y-1} \,dy $$ $$ = 1 + \left( -\frac{441}{256e} \right) = 1 - \frac{441}{256e} $$ התשובה הסופית היא $1 - \frac{441}{256e}$. $\blacksquare$