שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2026 - משתנה מקרי רציף

יהא $X \sim U(0,2)$ משתנה מקרי רציף. נגדיר את המשתנה המקרי: $$Y = \begin{cases} X & X \leq 1 \\ X-1 & \text{אחרת} \end{cases}$$ סעיף א: (10 נק') הוכח כי $2E[Y] - E[X] = 0$. סעיף ב: (15 נק') הוכח או הפרך: $Y \sim U(0,1)$ רציף (רמז: חשב את $F_Y(t)$).

רמז: חשבו את התוחלות באמצעות הגדרתן כאינטגרל על פונקציית הצפיפות של $X$. כדי למצוא את התפלגות $Y$, חשבו את פונקציית ההתפלגות המצטברת שלו, $F_Y(t)$, תוך פירוק למקרים לפי ערכו של $X$.

פתרון: נתון משתנה מקרי $X \sim U(0,2)$. פונקציית צפיפות ההסתברות של $X$ היא: $$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} & 0 < x < 2 \\ 0 & \text{אחרת} \end{cases}$$ והמשתנה המקרי $Y$ מוגדר על ידי: $$Y = \begin{cases} X & X \leq 1 \\ X-1 & X > 1 \end{cases}$$ **סעיף א:** נחשב תחילה את ה**תוחלת** של $X$: $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_0^2 x \cdot \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{4} (2^2 - 0^2) = \frac{4}{4} = 1$$ כעת נחשב את ה**תוחלת** של $Y$ באמצעות חישוב תוחלת של פונקציה של משתנה מקרי: $$E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x) dx$$ כאשר $g(x)$ היא הפונקציה המגדירה את $Y$. עלינו לפצל את האינטגרל בהתאם להגדרת $g(x)$: $$E[Y] = \int_0^1 x \cdot f_X(x) dx + \int_1^2 (x-1) \cdot f_X(x) dx$$ $$E[Y] = \int_0^1 x \cdot \frac{1}{2} dx + \int_1^2 (x-1) \cdot \frac{1}{2} dx$$ $$E[Y] = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 + \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} - x \right]_1^2$$ $$E[Y] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - 0 \right) + \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{2^2}{2} - 2 \right) - \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right) \right]$$ $$E[Y] = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \left[ (2 - 2) - \left( \frac{1}{2} - 1 \right) \right] = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \left[ 0 - \left( -\frac{1}{2} \right) \right] = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$$ כעת נוכיח את הטענה המבוקשת: $$2E[Y] - E[X] = 2 \cdot \frac{1}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$$ $\blacksquare$ **סעיף ב:** כדי להוכיח או להפריך את הטענה $Y \sim U(0,1)$, נחשב את **פונקציית ההתפלגות המצטברת (CDF)** של $Y$, המסומנת $F_Y(t) = P(Y \leq t)$, ונשווה אותה ל-CDF של התפלגות אחידה $U(0,1)$. ה-CDF של משתנה מקרי $Z \sim U(0,1)$ הוא: $$F_Z(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ t & 0 < t < 1 \\ 1 & t \geq 1 \end{cases}$$ נמצא את התומך של $Y$: כאשר $0 < X \leq 1$, אז $Y=X$ ולכן $0 < Y \leq 1$. כאשר $1 < X < 2$, אז $Y=X-1$ ולכן $0 < Y < 1$. סה"כ, התומך של $Y$ הוא $(0,1]$. מכאן ברור כי $F_Y(t)=0$ עבור $t \leq 0$ ו-$F_Y(t)=1$ עבור $t \geq 1$. נותר לחשב את $F_Y(t)$ עבור $0 < t < 1$: $$F_Y(t) = P(Y \leq t)$$ נשתמש בנוסחת ההסתברות השלמה על ידי פירוק המאורע לשני מקרים זרים: $X \leq 1$ ו-$X > 1$. $$P(Y \leq t) = P(Y \leq t, X \leq 1) + P(Y \leq t, X > 1)$$ נציב את הגדרת $Y$ בכל מקרה: $$P(Y \leq t) = P(X \leq t, X \leq 1) + P(X-1 \leq t, X > 1)$$ מאחר ו-$0 < t < 1$, מתקיים שהתנאי $X \leq t$ גורר את התנאי $X \leq 1$. לכן, $P(X \leq t, X \leq 1) = P(X \leq t)$. כמו כן, התנאי $X-1 \leq t$ שקול ל-$X \leq t+1$. לכן, $P(X-1 \leq t, X > 1) = P(1 < X \leq t+1)$. נציב חזרה: $$F_Y(t) = P(X \leq t) + P(1 < X \leq t+1)$$ נחשב כל הסתברות באמצעות פונקציית הצפיפות של $X$: $$P(X \leq t) = \int_0^t f_X(x) dx = \int_0^t \frac{1}{2} dx = \frac{t}{2}$$ $$P(1 < X \leq t+1) = \int_1^{t+1} f_X(x) dx = \int_1^{t+1} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2}((t+1)-1) = \frac{t}{2}$$ נחבר את ההסתברויות: $$F_Y(t) = \frac{t}{2} + \frac{t}{2} = t$$ לסיכום, פונקציית ההתפלגות המצטברת של $Y$ היא: $$F_Y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0 \\ t & 0 < t < 1 \\ 1 & t \geq 1 \end{cases}$$ זוהי בדיוק פונקציית ההתפלגות המצטברת של משתנה מקרי המתפלג אחיד ב-(0,1). לכן הטענה נכונה, $Y \sim U(0,1)$. $\blacksquare$