שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2019 - פונקציית צפיפות

יהיו $X$ ו-$Y$ משתנים מקריים עם פונקציית צפיפות משותפת: $$f(x,y) = \begin{cases} c & 0 < x < 1, -x < y < x \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ עבור $c$ קבוע. סעיף א (6 נקודות) חשב את ערכו של $c$. סעיף ב (6 נקודות) האם $X$ ו-$Y$ תלויים או בלתי תלויים? הסבירו את תשובתכם. סעיף ג (6 נקודות) חשב את $E[X]$ ו-$E[Y]$. סעיף ד (7 נקודות) חשב את $Cov(X,Y)$.

רמז: כדי למצוא את הקבוע $c$, יש לדרוש שהאינטגרל של פונקציית הצפיפות על כל המרחב יהיה שווה ל-1. התלות נבדקת על ידי בחינת תחום התומך, או על ידי השוואת מכפלת הצפיפויות השוליות לצפיפות המשותפת.

פתרון: סעיף א: הקבוע $c$ נקבע על ידי תנאי הנרמול, הקובע כי **ההסתברות השלמה** על פני כל מרחב המדגם שווה ל-1. כלומר, האינטגרל של **פונקציית הצפיפות המשותפת** $f(x,y)$ על פני כל תחום הגדרתה חייב להיות שווה ל-1. $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dy\,dx = 1$$ **תחום התומך** של ההתפלגות הוא $T = \{(x,y) | 0 < x < 1, -x < y < x\}$. לכן, עלינו לפתור את האינטגרל בתחום זה: $$\iint_T c \,dy\,dx = 1$$ $$\int_0^1 \int_{-x}^x c \,dy\,dx = 1$$ נפתור תחילה את האינטגרל הפנימי לפי $y$: $$\int_0^1 c \left[ y \right]_{-x}^x \,dx = 1$$ $$\int_0^1 c (x - (-x)) \,dx = 1$$ $$\int_0^1 2cx \,dx = 1$$ כעת נפתור את האינטגרל החיצוני לפי $x$: $$2c \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 1$$ $$c \left[ x^2 \right]_0^1 = 1$$ $$c (1^2 - 0^2) = 1$$ $$c = 1$$ לפיכך, ערכו של הקבוע הוא $c=1$. $\blacksquare$ סעיף ב: שני משתנים מקריים $X$ ו-$Y$ הם **בלתי תלויים** אם ורק אם פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם שווה למכפלת פונקציות הצפיפות השוליות שלהם: $f(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ לכל $x,y$. תנאי הכרחי לאי-תלות הוא שתחום התומך של ההתפלגות המשותפת יהיה מלבני (כלומר, ניתן לכתוב אותו כ-$a < x < b, c < y < d$). במקרה שלנו, תחום התומך הוא $T = \{(x,y) | 0 < x < 1, -x < y < x\}$. כיוון שגבולות האינטגרציה של $y$ תלויים ב-$x$, התחום אינו מלבני. עובדה זו לבדה מספיקה כדי להסיק כי המשתנים $X$ ו-$Y$ **תלויים**. כדי להוכיח זאת באופן פורמלי, נחשב את **פונקציות הצפיפות השוליות**. מצאנו בסעיף א' כי $c=1$. הצפיפות השולית של $X$ היא: $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dy = \int_{-x}^x 1 \,dy = [y]_{-x}^x = 2x, \quad 0 < x < 1$$ הצפיפות השולית של $Y$ מתקבלת מאינטגרציה לפי $x$. התנאי $-x < y < x$ שקול ל-$x > |y|$. לכן, עבור $y$ נתון, $x$ נע בתחום $|y| < x < 1$. תחום זה אינו ריק כאשר $|y|<1$. $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \,dx = \int_{|y|}^1 1 \,dx = [x]_{|y|}^1 = 1 - |y|, \quad -1 < y < 1$$ נבדוק את מכפלת הצפיפויות השוליות: $$f_X(x) f_Y(y) = (2x)(1-|y|)$$ מאחר ש-$f_X(x) f_Y(y) = 2x(1-|y|) \neq 1 = f(x,y)$ בתחום התומך, המשתנים אינם בלתי תלויים. $\blacksquare$ סעיף ג: כדי לחשב את **התוחלת** של $X$ ושל $Y$, נוכל להשתמש בפונקציות הצפיפות השוליות שמצאנו בסעיף ב'. $$E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) \,dx = \int_0^1 x(2x) \,dx = \int_0^1 2x^2 \,dx = \left[ \frac{2x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}$$ עבור $Y$: $$E[Y] = \int_{-\infty}^{\infty} y f_Y(y) \,dy = \int_{-1}^1 y(1-|y|) \,dy$$ הפונקציה $g(y) = y(1-|y|)$ היא פונקציה אי-זוגית, מכיוון ש-$g(-y) = (-y)(1-|-y|) = -y(1-|y|) = -g(y)$. האינטגרל של פונקציה אי-זוגית על פני קטע סימטרי סביב הראשית (כמו $[-1, 1]$) הוא תמיד 0. לכן, $E[Y] = 0$. לחילופין, ניתן לחשב את התוחלות ישירות מההתפלגות המשותפת: $$E[X] = \int_0^1 \int_{-x}^x x \cdot 1 \,dy\,dx = \int_0^1 x[y]_{-x}^x \,dx = \int_0^1 x(2x) \,dx = \int_0^1 2x^2 \,dx = \frac{2}{3}$$ $$E[Y] = \int_0^1 \int_{-x}^x y \cdot 1 \,dy\,dx = \int_0^1 \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-x}^x \,dx = \int_0^1 \left( \frac{x^2}{2} - \frac{(-x)^2}{2} \right) \,dx = \int_0^1 0 \,dx = 0$$ שתי הדרכים מניבות את אותה התוצאה: $E[X] = \frac{2}{3}$ ו-$E[Y] = 0$. $\blacksquare$ סעיף ד: ה**שונות המשותפת** (Covariance) מוגדרת על ידי הנוסחה $Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y]$. מסעיף ג' ידוע לנו כי $E[X] = \frac{2}{3}$ ו-$E[Y] = 0$, ולכן $E[X]E[Y] = 0$. כעת נחשב את $E[XY]$: $$E[XY] = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} xy f(x,y) \,dy\,dx = \int_0^1 \int_{-x}^x xy \cdot 1 \,dy\,dx$$ נפתור תחילה את האינטגרל הפנימי לפי $y$: $$\int_{-x}^x xy \,dy = x \int_{-x}^x y \,dy = x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{-x}^x = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{(-x)^2}{2} \right) = x \left( \frac{x^2}{2} - \frac{x^2}{2} \right) = 0$$ מכיוון שהאינטגרל הפנימי הוא 0 לכל ערך של $x$ בתחום, גם האינטגרל החיצוני יהיה 0: $$E[XY] = \int_0^1 0 \,dx = 0$$ לפיכך, השונות המשותפת היא: $$Cov(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 0 - 0 = 0$$ נשים לב כי אף על פי שהמשתנים $X$ ו-$Y$ תלויים, השונות המשותפת שלהם היא 0 (כלומר, הם בלתי מתואמים). $\blacksquare$