שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2025 - שונות

נתונים משתנים בלתי תלויים X ו-Y: $$\sigma^2(X) = 2$$ $$\sigma^2(Y) = 15$$ $$U = 4X - 3Y + 2$$ מהי סטיית התקן של U? א. 5 ב. 9.22 ג. 17.18 ד. 25 ה. 85 ו. 295

רמז: עבור משתנים בלתי תלויים: $\text{Var}(aX + bY + c) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)$. חשבו את השונות ואז הוציאו שורש.

פתרון: $\text{Var}(U) = \text{Var}(4X - 3Y + 2) = 4^2 \cdot \sigma^2(X) + (-3)^2 \cdot \sigma^2(Y) = 16 \cdot 2 + 9 \cdot 15 = 32 + 135 = 167$ $\sigma(U) = \sqrt{167} \approx 12.92$ אף תשובה לא מתאימה בדיוק. בדיקה חוזרת: ייתכן ש-$\sigma^2(X) = 2$ פירושו $\sigma(X) = 2$, כלומר $\text{Var}(X) = 4$. אם $\text{Var}(X) = 4, \text{Var}(Y) = 225$ ($\sigma(Y) = 15$): $\text{Var}(U) = 16 \cdot 4 + 9 \cdot 225 = 64 + 2025 = 2089$ → $\sigma(U) \approx 45.7$. לפי הסימון בבחינה $\sigma^2(X) = 2$ ו-$\sigma^2(Y) = 15$: $\text{Var}(U) = 16(2) + 9(15) = 32 + 135 = 167$, $\sigma_U \approx 12.92$. לפי הערכים: $\sqrt{85} \approx 9.22$. ייתכן שהנוסחה הנכונה: $\sigma^2(U) = 4^2(2) + 3^2(15) = 32 + 135... $ אבל $\sqrt{85} = 9.22$. אם $\sigma^2(X) = 2, \sigma^2(Y) = 15$: $|4|^2(2) + |{-3}|^2(15) = 32+135 \neq 85$. ייתכן קריאה: $\sigma^2(X) = 2, \sigma^2(Y) = 15$, ו-$U = 4X - 3Y + 2$, כאשר X,Y **תלויים** — אבל נתון שבלתי תלויים. בדיקת $\sigma_U^2 = 85$: $16a + 9b = 85$. אם $a=1, b=\frac{69}{9}$ — לא מתאים. אם הכוונה $\sigma(X) = 2$ (לא שונות): $\text{Var}(U) = 16(4) + 9(15) = 64+135 = 199$. לא. אם הנוסח הנכון: $\sigma^2(X)=2, \sigma(Y)=15$ ➜ $\text{Var}(Y)=225$: לא. התשובה הקרובה ביותר: **ב** ($9.22 = \sqrt{85}$).