שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2018 - התפלגות משותפת

נתונה פונקציית הצפיפות המשותפת של המשתנים הרציפים $X$ ו-$Y$: $$f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} c e^{-(2x+3y)} & x,y \ge 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ א. מצאו את הקבוע $c$. ג. האם $X$ ו-$Y$ הם בלתי תלויים? ד. חישבו את $E[Y|X > 2]$. ה. מצא $P(X > Y)$ תוכלו להיעזר באינטגרלים הבא בפתרון: $$\int a e^{-ax} dx = -e^{-ax}$$ $$\int a x e^{-ax} dx = -e^{-ax}(x + \frac{1}{a})$$ $$\int a x^2 e^{-ax} dx = -e^{-ax}(\frac{2}{a^2} + \frac{2}{a}x + x^2)$$

רמז: ראשית, קבעו את ערכו של הקבוע $c$ באמצעות נרמול פונקציית הצפיפות. לאחר מכן, בדקו האם מתקיים תנאי האי-תלות $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ על ידי חישוב ההתפלגויות השוליות.

פתרון: ### סעיף א: מציאת הקבוע c כדי ש-$f_{X,Y}(x,y)$ תהיה **פונקציית צפיפות** חוקית, האינטגרל שלה על פני כל המרחב חייב להיות שווה ל-1. התחום שבו הפונקציה אינה אפס הוא $x,y \ge 0$. לכן, אנו דורשים: $$\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx dy = 1$$ $$\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} c e^{-(2x+3y)} dx dy = 1$$ ניתן להפריד את האינטגרל הכפול למכפלת שני אינטגרלים, מכיוון שהפונקציה פריקה וגבולות האינטגרציה אינם תלויים זה בזה: $$c \left( \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx \right) \left( \int_{0}^{\infty} e^{-3y} dy \right) = 1$$ נחשב כל אינטגרל בנפרד: $$\int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{2}e^0\right) = \frac{1}{2}$$ $$\int_{0}^{\infty} e^{-3y} dy = \left[ -\frac{1}{3}e^{-3y} \right]_{0}^{\infty} = 0 - \left(-\frac{1}{3}e^0\right) = \frac{1}{3}$$ נציב חזרה במשוואה: $$c \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = 1 \implies \frac{c}{6} = 1 \implies c=6$$ לכן, $f_{X,Y}(x,y) = 6 e^{-(2x+3y)}$ עבור $x,y \ge 0$.$\blacksquare$ ### סעיף ג: בדיקת אי-תלות שני משתנים מקריים $X$ ו-$Y$ הם **בלתי תלויים** אם ורק אם פונקציית הצפיפות המשותפת שלהם שווה למכפלת פונקציות הצפיפות השוליות שלהם, כלומר $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$, וגם תחום התמיכה הוא מלבני. נמצא את **ההתפלגויות השוליות**: עבור $x \ge 0$: $$f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dy = \int_{0}^{\infty} 6 e^{-2x} e^{-3y} dy = 6e^{-2x} \int_{0}^{\infty} e^{-3y} dy = 6e^{-2x} \cdot \frac{1}{3} = 2e^{-2x}$$ זוהי **התפלגות מעריכית** עם פרמטר $\lambda_X = 2$, כלומר $X \sim \text{Exp}(2)$. עבור $y \ge 0$: $$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx = \int_{0}^{\infty} 6 e^{-2x} e^{-3y} dx = 6e^{-3y} \int_{0}^{\infty} e^{-2x} dx = 6e^{-3y} \cdot \frac{1}{2} = 3e^{-3y}$$ זוהי **התפלגות מעריכית** עם פרמטר $\lambda_Y = 3$, כלומר $Y \sim \text{Exp}(3)$. כעת נבדוק את תנאי האי-תלות: $$f_X(x)f_Y(y) = (2e^{-2x})(3e^{-3y}) = 6e^{-(2x+3y)} = f_{X,Y}(x,y)$$ מכיוון שהשוויון מתקיים ותחום התמיכה הוא מלבני ($x \ge 0, y \ge 0$), המשתנים $X$ ו-$Y$ הם **בלתי תלויים** זה בזה.$\blacksquare$ ### סעיף ד: חישוב תוחלת מותנית עלינו לחשב את $E[Y|X > 2]$. מכיוון שהוכחנו בסעיף הקודם ש-$X$ ו-$Y$ הם משתנים מקריים **בלתי תלויים**, המידע על $X$ (במקרה זה, העובדה ש-$X>2$) אינו משפיע על ההתפלגות של $Y$. לכן, ה**תוחלת המותנית** של $Y$ שווה לתוחלת הלא מותנית של $Y$: $$E[Y|X > 2] = E[Y]$$ אנו יודעים ש-$Y \sim \text{Exp}(3)$. התוחלת של משתנה מקרי מעריכי עם פרמטר $\lambda$ היא $1/\lambda$. לכן: $$E[Y] = \frac{1}{3}$$ ומכאן, $E[Y|X > 2] = \frac{1}{3}$.$\blacksquare$ ### סעיף ה: חישוב הסתברות עלינו למצוא את $P(X > Y)$. זוהי ההסתברות שהערך של $X$ יהיה גדול מהערך של $Y$. כדי לחשב זאת, נבצע אינטגרציה על פונקציית הצפיפות המשותפת בתחום בו $x > y$ וגם $x,y \ge 0$. $$P(X > Y) = \iint_{x>y\ge 0} f_{X,Y}(x,y) dx dy$$ ניתן לחשב את האינטגרל הכפול בשתי דרכים. נבחר לבצע אינטגרציה קודם לפי $x$ ולאחר מכן לפי $y$. תחום האינטגרציה הוא $0 \le y < \infty$ ו- $y < x < \infty$. $$P(X > Y) = \int_0^\infty \left( \int_y^\infty 6e^{-2x}e^{-3y} dx \right) dy$$ נפתור את האינטגרל הפנימי (לפי $x$): $$\int_y^\infty 6e^{-2x}e^{-3y} dx = 6e^{-3y} \int_y^\infty e^{-2x} dx = 6e^{-3y} \left[ -\frac{1}{2}e^{-2x} \right]_y^\infty$$ $$= 6e^{-3y} \left( 0 - \left(-\frac{1}{2}e^{-2y}\right) \right) = 6e^{-3y} \cdot \frac{1}{2}e^{-2y} = 3e^{-5y}$$ כעת נציב תוצאה זו באינטגרל החיצוני (לפי $y$): $$P(X > Y) = \int_0^\infty 3e^{-5y} dy = 3 \left[ -\frac{1}{5}e^{-5y} \right]_0^\infty = 3 \left( 0 - \left(-\frac{1}{5}e^0\right) \right) = 3 \cdot \frac{1}{5} = \frac{3}{5}$$ לכן, ההסתברות היא $P(X>Y) = \frac{3}{5}$.$\blacksquare$