שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2024 - סכום משתנים מקריים

מפעל מייצר $X_i$ צעצועים ביום $i$. $X_i$ משתנים מקריים זהים בלתי תלויים עם תוחלת 5 ושונות 9. סעיף א: (8 נק') מצא קירוב להסתברות שמספר הצעצועים הכולל שיוצרו במשך 100 ימים נמוך מ-440. סעיף ב: (8 נק') מצא את ערך ה-$i$ הגדול ביותר עבורו מתקיים: $$P(X_1 + \dots + X_i \geq 200 + 5i) \leq 0.05$$ סעיף ג: (9 נק') יהא N מספר היום בו לראשונה סך הצעצועים הכולל שיוצרו מיום מספר אחד הוא לפחות 1000. הערך את ההסתברות ש-N הוא לפחות 220?

רמז: בכל הסעיפים, ניתן להשתמש במשפט הגבול המרכזי כדי לקרב את התפלגות סכום הצעצועים להתפלגות נורמלית. שימו לב שבסעיף ג', המאורע {N ≥ 220} שקול למאורע אחר הקשור לסכום הצעצועים עד יום 219.

פתרון: נתונים $X_i$ משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות (i.i.d) עם **תוחלת** $E[X_i]=\mu=5$ ו**שונות** $Var(X_i)=\sigma^2=9$. **סעיף א:** אנו רוצים למצוא קירוב להסתברות $P(\sum_{i=1}^{100} X_i < 440)$. נגדיר את סכום המשתנים המקריים: $S_{100} = \sum_{i=1}^{100} X_i$. מאחר ש-$n=100$ הוא מספר גדול, ו-$X_i$ הם משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות, נוכל להשתמש ב**משפט הגבול המרכזי (CLT)**. לפיו, התפלגות הסכום $S_{100}$ קרובה להתפלגות נורמלית. נחשב את התוחלת והשונות של $S_{100}$: $$E[S_{100}] = E[\sum_{i=1}^{100} X_i] = \sum_{i=1}^{100} E[X_i] = 100 \cdot 5 = 500$$ $$Var(S_{100}) = Var(\sum_{i=1}^{100} X_i) = \sum_{i=1}^{100} Var(X_i) = 100 \cdot 9 = 900$$ לפיכך, $S_{100} \approx N(\mu_{S_{100}}=500, \sigma^2_{S_{100}}=900)$. כדי לחשב את ההסתברות, נבצע תִקנון (סטנדרטיזציה) למשתנה מקרי נורמלי סטנדרטי $Z \sim N(0,1)$: $$P(S_{100} < 440) = P\left(\frac{S_{100} - E[S_{100}]}{\sqrt{Var(S_{100})}} < \frac{440 - 500}{\sqrt{900}}\right)$$ $$= P\left(Z < \frac{-60}{30}\right) = P(Z < -2)$$ באמצעות טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית (או תכונות הסימטריה): $$P(Z < -2) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 1 - 0.9772 = 0.0228$$ ההסתברות המקורבת היא 0.0228. **סעיף ב:** אנו מחפשים את ה-$i$ השלם הגדול ביותר המקיים $P(X_1 + \dots + X_i \geq 200 + 5i) \leq 0.05$. נגדיר $S_i = \sum_{k=1}^i X_k$. התוחלת והשונות הן: $E[S_i] = i \cdot E[X_1] = 5i$ $Var(S_i) = i \cdot Var(X_1) = 9i$ בהנחה ש-$i$ גדול מספיק, נשתמש שוב ב**משפט הגבול המרכזי**. נתקנן את הביטוי: $$P(S_i \geq 200 + 5i) = P\left(\frac{S_i - 5i}{\sqrt{9i}} \geq \frac{200 + 5i - 5i}{\sqrt{9i}}\right) = P\left(Z \geq \frac{200}{3\sqrt{i}}\right)$$ אנו דורשים $P\left(Z \geq \frac{200}{3\sqrt{i}}\right) \leq 0.05$. מטבלת ההתפלגות הנורמלית, אנו יודעים שהערך $z_{0.05}$ המקיים $P(Z \geq z_{0.05}) = 0.05$ הוא בקירוב $z_{0.05} \approx 1.645$. מכיוון שפונקציית ההתפלגות המצטברת עולה, אי-השוויון $P(Z \geq k) \leq 0.05$ מתקיים אם ורק אם $k \geq 1.645$. לכן, עלינו לפתור את אי-השוויון: $$\frac{200}{3\sqrt{i}} \geq 1.645$$ $$200 \geq 1.645 \cdot 3\sqrt{i}$$ $$\sqrt{i} \leq \frac{200}{4.935} \approx 40.5268$$ $$i \leq (40.5268)^2 \approx 1642.42$$ הערך השלם הגדול ביותר של $i$ המקיים תנאי זה הוא $i=1642$. **סעיף ג:** יהא $N$ היום בו סך הצעצועים מגיע לראשונה ל-1000. כלומר, $N = \min\{n : \sum_{i=1}^n X_i \geq 1000\}$. אנו רוצים להעריך את $P(N \geq 220)$. המאורע $N \geq 220$ שקול למאורע שעד סוף יום 219, סך הצעצועים שיוצרו עדיין לא הגיע ל-1000. כלומר: $$\{N \geq 220\} = \{\sum_{i=1}^{219} X_i < 1000\}$$ נגדיר $S_{219} = \sum_{i=1}^{219} X_i$. נשתמש ב**משפט הגבול המרכזי** כדי לקרב את $P(S_{219} < 1000)$. התוחלת והשונות של $S_{219}$ הן: $E[S_{219}] = 219 \cdot 5 = 1095$ $Var(S_{219}) = 219 \cdot 9 = 1971$ מכאן, $S_{219} \approx N(1095, 1971)$. נתקנן: $$P(S_{219} < 1000) = P\left(\frac{S_{219} - 1095}{\sqrt{1971}} < \frac{1000 - 1095}{\sqrt{1971}}\right)$$ $$= P\left(Z < \frac{-95}{\sqrt{1971}}\right) \approx P\left(Z < \frac{-95}{44.396}\right) \approx P(Z < -2.14)$$ מטבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית: $$P(Z < -2.14) = \Phi(-2.14) = 1 - \Phi(2.14) \approx 1 - 0.9838 = 0.0162$$ לכן, ההערכה להסתברות ש-$N$ הוא לפחות 220 היא 0.0162.