שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2023

קורס: הסתברות

אוניברסיטה: אוניברסיטת בר-אילן

שנה: 2023

סמסטר: ב

נושאים: משתנה מקרי רציף, התפלגות משותפת, התפלגות שולית, התפלגות מותנית, פונקציית צפיפות, אי-תלות, תוחלת, תוחלת מותנית, שונות משותפת

רמת קושי: בינוני-קשה

להלן פרטים על התפלגות משותפת של שני משתנים מקריים רציפים $X$ ו-$Y$: $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{x^4} & x \ge 1 \\ 0 & o.w \end{cases} $$ $$ f_{Y|X}(y|x) = \begin{cases} \frac{1}{2x} & 0 \le y \le 2x \\ 0 & o.w \end{cases} $$ סעיף א: (8 נק') 1. מצאו את ההתפלגות השולית של $Y$. 2. האם $X$ ו-$Y$ בלתי תלויים? (זכרו לענות על שני סעיפי השאלה!) סעיף ב: (9 נק') מצאו את $E[X]$ ואת $E[Y]$. סעיף ג: (8 נק') מצאו את $COV(X,Y)$.

רמז: תחילה, יש לוודא כי פונקציית הצפיפות השולית של X מנורמלת כראוי. לאחר מכן, חשבו את פונקציית הצפיפות המשותפת של X ו-Y ואת תחומי התמיכה שלה.

פתרון: ראשית, נבדוק את פונקציית הצפיפות השולית של $X$. אינטגרל על כל התומך חייב להיות 1: $$ \int_1^\infty \frac{1}{x^4} dx = \left[ -\frac{1}{3x^3} \right]_1^\infty = 0 - \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3} \neq 1 $$ הפונקציה הנתונה אינה פונקציית צפיפות תקינה. נניח כי חסר קבוע נרמול, וכי הצורה הפונקציונלית נכונה. קבוע הנרמול הוא 3, ולכן נשתמש בפונקציית הצפיפות המתוקנת: $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{3}{x^4} & x \ge 1 \\ 0 & o.w \end{cases} $$ כעת נמצא את **פונקציית הצפיפות המשותפת** $f_{X,Y}(x,y)$: $$ f_{X,Y}(x,y) = f_{Y|X}(y|x) f_X(x) = \frac{1}{2x} \cdot \frac{3}{x^4} = \frac{3}{2x^5} $$ בתחום $x \ge 1$ ו-$0 \le y \le 2x$, ואחרת 0. ### סעיף א: 1. **ההתפלגות השולית של $Y$**: נמצא את **פונקציית הצפיפות השולית** של $Y$, $f_Y(y)$, על ידי אינטגרציה של הפונקציה המשותפת על כל ערכי $x$ האפשריים: $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x,y) dx $$ התחום שבו הצפיפות אינה אפס הוא $x \ge 1$ וגם $0 \le y \le 2x$, כלומר $x \ge y/2$. לכן, הגבול התחתון לאינטגרל על $x$ הוא $\max(1, y/2)$. נחלק למקרים עבור $y$: * **מקרה 1: $0 \le y \le 2$** במקרה זה, $y/2 \le 1$, ולכן $\max(1, y/2) = 1$. $$ f_Y(y) = \int_1^{\infty} \frac{3}{2x^5} dx = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{4x^4} \right]_1^\infty = \frac{3}{2} \left( 0 - \left(-\frac{1}{4}\right) \right) = \frac{3}{8} $$ * **מקרה 2: $y > 2$** במקרה זה, $y/2 > 1$, ולכן $\max(1, y/2) = y/2$. $$ f_Y(y) = \int_{y/2}^{\infty} \frac{3}{2x^5} dx = \frac{3}{2} \left[ -\frac{1}{4x^4} \right]_{y/2}^\infty = \frac{3}{2} \left( 0 - \left(-\frac{1}{4(y/2)^4}\right) \right) = \frac{3}{8} \frac{1}{y^4/16} = \frac{3 \cdot 16}{8y^4} = \frac{6}{y^4} $$ לסיכום, ההתפלגות השולית של $Y$ היא: $$ f_Y(y) = \begin{cases} \frac{3}{8} & 0 \le y \le 2 \\ \frac{6}{y^4} & y > 2 \\ 0 & o.w \end{cases} $$ 2. **האם $X$ ו-$Y$ בלתי תלויים?** $X$ ו-$Y$ הם **בלתי תלויים** אם ורק אם $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y)$ לכל $x,y$. דרך פשוטה יותר לבדוק זאת היא לבחון את **ההתפלגות המותנית**. מכיוון שהתומך של $Y$ בהינתן $X=x$, שהוא $[0, 2x]$, תלוי בערכו של $x$, המשתנים **אינם בלתי תלויים**. $\blacksquare$ ### סעיף ב: נחשב את **התוחלות** $E[X]$ ו-$E[Y]$. **חישוב $E[X]$**: $$ E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f_X(x) dx = \int_1^{\infty} x \cdot \frac{3}{x^4} dx = \int_1^{\infty} \frac{3}{x^3} dx = 3 \left[ -\frac{1}{2x^2} \right]_1^\infty = 3 \left( 0 - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) = \frac{3}{2} $$ **חישוב $E[Y]$**: נשתמש בנוסחת **התוחלת השלמה** (או תוחלת מותנית): $E[Y] = E[E[Y|X]]$. ראשית, נחשב את **התוחלת המותנית** $E[Y|X=x]$: $$ E[Y|X=x] = \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y|X}(y|x) dy = \int_0^{2x} y \cdot \frac{1}{2x} dy = \frac{1}{2x} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{2x} = \frac{1}{2x} \frac{(2x)^2}{2} = \frac{4x^2}{4x} = x $$ לכן, $E[Y|X] = X$. כעת, נחשב את התוחלת של תוצאה זו: $$ E[Y] = E[E[Y|X]] = E[X] = \frac{3}{2} $$ ### סעיף ג: נחשב את **השונות המשותפת**, $COV(X,Y)$. $$ COV(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] $$ את $E[X]$ ו-$E[Y]$ כבר חישבנו. נותר לחשב את $E[XY]$. נשתמש שוב בגישת התוחלת המותנית: $$ E[XY] = E[E[XY|X]] $$ נחשב את הביטוי הפנימי: $$ E[XY|X=x] = \int_{-\infty}^{\infty} xy f_{Y|X}(y|x) dy = x \int_{-\infty}^{\infty} y f_{Y|X}(y|x) dy = x E[Y|X=x] $$ כבר מצאנו ש-$E[Y|X=x]=x$, ולכן $E[XY|X=x] = x \cdot x = x^2$. כלומר, $E[XY|X] = X^2$. כעת, נחשב את התוחלת של תוצאה זו: $$ E[XY] = E[E[XY|X]] = E[X^2] $$ נחשב את $E[X^2]$: $$ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_X(x) dx = \int_1^{\infty} x^2 \cdot \frac{3}{x^4} dx = \int_1^{\infty} \frac{3}{x^2} dx = 3 \left[ -\frac{1}{x} \right]_1^\infty = 3 (0 - (-1)) = 3 $$ לכן $E[XY] = 3$. כעת נוכל לחשב את השונות המשותפת: $$ COV(X,Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = 3 - \left(\frac{3}{2}\right) \cdot \left(\frac{3}{2}\right) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12-9}{4} = \frac{3}{4} $$

להלן פרטים על התפלגות משותפת של שני משתנים מקריים רציפים

X

ו-

Y

f_{X} (x) = {\frac{1}{x ^{4}} 0 x \geq 1 o . w

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) = {\frac{1}{2 x} 0 0 \leq y \leq 2 x o . w

סעיף א: (8 נק')
1. מצאו את ההתפלגות השולית של

Y

.
2. האם

X

ו-

Y

בלתי תלויים?
(זכרו לענות על שני סעיפי השאלה!)

סעיף ב: (9 נק')
מצאו את

E [X]

ואת

E [Y]

.

סעיף ג: (8 נק')
מצאו את

C O V (X, Y)

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

אוניברסיטת בר-אילןמועד א2023סמסטר ב

★★★★★

משתנה מקרי רציףהתפלגות משותפתהתפלגות שוליתהתפלגות מותניתפונקציית צפיפותאי-תלותתוחלתתוחלת מותניתשונות משותפת

תחילה, יש לוודא כי פונקציית הצפיפות השולית של X מנורמלת כראוי. לאחר מכן, חשבו את פונקציית הצפיפות המשותפת של X ו-Y ואת תחומי התמיכה שלה.

ראשית, נבדוק את פונקציית הצפיפות השולית של

X

. אינטגרל על כל התומך חייב להיות 1:

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x ^{4}} d x = [- \frac{1}{3 x ^{3}}]_{1}^{\infty} = 0 - (- \frac{1}{3}) = \frac{1}{3} \neq = 1

הפונקציה הנתונה אינה פונקציית צפיפות תקינה. נניח כי חסר קבוע נרמול, וכי הצורה הפונקציונלית נכונה. קבוע הנרמול הוא 3, ולכן נשתמש בפונקציית הצפיפות המתוקנת:

f_{X} (x) = {\frac{3}{x ^{4}} 0 x \geq 1 o . w

כעת נמצא את פונקציית הצפיפות המשותפת

f_{X, Y} (x, y)

f_{X, Y} (x, y) = f_{Y ∣ X} (y ∣ x) f_{X} (x) = \frac{1}{2 x} \cdot \frac{3}{x ^{4}} = \frac{3}{2 x ^{5}}

בתחום

x \geq 1

ו-

0 \leq y \leq 2 x

, ואחרת 0.

סעיף א:

1. **ההתפלגות השולית של

Y

**:
נמצא את פונקציית הצפיפות השולית של

Y

f_{Y} (y)

, על ידי אינטגרציה של הפונקציה המשותפת על כל ערכי

x

האפשריים:

f_{Y} (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X, Y} (x, y) d x

התחום שבו הצפיפות אינה אפס הוא

x \geq 1

וגם

0 \leq y \leq 2 x

, כלומר

x \geq y /2

. לכן, הגבול התחתון לאינטגרל על

x

הוא

max (1, y /2)

. נחלק למקרים עבור

y

**מקרה 1: $0 \leq y \leq 2$ **

במקרה זה,

y /2 \leq 1

, ולכן

max (1, y /2) = 1

f_{Y} (y) = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{2 x ^{5}} d x = \frac{3}{2} [- \frac{1}{4 x ^{4}}]_{1}^{\infty} = \frac{3}{2} (0 - (- \frac{1}{4})) = \frac{3}{8}

**מקרה 2: $y > 2$ **

במקרה זה,

y /2 > 1

, ולכן

max (1, y /2) = y /2

f_{Y} (y) = \int_{y /2}^{\infty} \frac{3}{2 x ^{5}} d x = \frac{3}{2} [- \frac{1}{4 x ^{4}}]_{y /2}^{\infty} = \frac{3}{2} (0 - (- \frac{1}{4 ( y /2 ) ^{4}})) = \frac{3}{8} \frac{1}{y ^{4} /16} = \frac{3 \cdot 16}{8 y ^{4}} = \frac{6}{y ^{4}}

לסיכום, ההתפלגות השולית של

Y

היא:

f_{Y} (y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3}{8} \frac{6}{y ^{4}} 0 0 \leq y \leq 2 y > 2 o . w

2. **האם

X

ו-

Y

בלתי תלויים?**

X

ו-

Y

הם בלתי תלויים אם ורק אם

f_{X, Y} (x, y) = f_{X} (x) f_{Y} (y)

לכל

x, y

. דרך פשוטה יותר לבדוק זאת היא לבחון את ההתפלגות המותנית. מכיוון שהתומך של

Y

בהינתן

X = x

, שהוא

[0, 2 x]

, תלוי בערכו של

x

, המשתנים אינם בלתי תלויים.

■

סעיף ב:

נחשב את התוחלות

E [X]

ו-

E [Y]

.

**חישוב

E [X]

**:

E [X] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x) d x = \int_{1}^{\infty} x \cdot \frac{3}{x ^{4}} d x = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x ^{3}} d x = 3 [- \frac{1}{2 x ^{2}}]_{1}^{\infty} = 3 (0 - (- \frac{1}{2})) = \frac{3}{2}

**חישוב

E [Y]

**:
נשתמש בנוסחת התוחלת השלמה (או תוחלת מותנית):

E [Y] = E [E [Y ∣ X]]

. ראשית, נחשב את התוחלת המותנית

E [Y ∣ X = x]

E [Y ∣ X = x] = \int_{- \infty}^{\infty} y f_{Y ∣ X} (y ∣ x) d y = \int_{0}^{2 x} y \cdot \frac{1}{2 x} d y = \frac{1}{2 x} [\frac{y ^{2}}{2}]_{0}^{2 x} = \frac{1}{2 x} \frac{( 2 x ) ^{2}}{2} = \frac{4 x ^{2}}{4 x} = x

לכן,

E [Y ∣ X] = X

. כעת, נחשב את התוחלת של תוצאה זו:

E [Y] = E [E [Y ∣ X]] = E [X] = \frac{3}{2}

סעיף ג:

נחשב את השונות המשותפת,

C O V (X, Y)

C O V (X, Y) = E [X Y] - E [X] E [Y]

את

E [X]

ו-

E [Y]

כבר חישבנו. נותר לחשב את

E [X Y]

. נשתמש שוב בגישת התוחלת המותנית:

E [X Y] = E [E [X Y ∣ X]]

נחשב את הביטוי הפנימי:

E [X Y ∣ X = x] = \int_{- \infty}^{\infty} x y f_{Y ∣ X} (y ∣ x) d y = x \int_{- \infty}^{\infty} y f_{Y ∣ X} (y ∣ x) d y = x E [Y ∣ X = x]

כבר מצאנו ש-

E [Y ∣ X = x] = x

, ולכן

E [X Y ∣ X = x] = x \cdot x = x^{2}

. כלומר,

E [X Y ∣ X] = X^{2}

.
כעת, נחשב את התוחלת של תוצאה זו:

E [X Y] = E [E [X Y ∣ X]] = E [X^{2}]

נחשב את

E [X^{2}]

E [X^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} x^{2} f_{X} (x) d x = \int_{1}^{\infty} x^{2} \cdot \frac{3}{x ^{4}} d x = \int_{1}^{\infty} \frac{3}{x ^{2}} d x = 3 [- \frac{1}{x}]_{1}^{\infty} = 3 (0 - (- 1)) = 3

לכן

E [X Y] = 3

. כעת נוכל לחשב את השונות המשותפת:

C O V (X, Y) = E [X Y] - E [X] E [Y] = 3 - (\frac{3}{2}) \cdot (\frac{3}{2}) = 3 - \frac{9}{4} = \frac{12 - 9}{4} = \frac{3}{4}

שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2023 - משתנה מקרי רציף