שאלת מבחן בסטטיסטיקה לפסיכולוגיה א׳ - אוניברסיטת תל אביב 2023 - התפלגות דגימה

מה נכון לגבי התפלגות הדגימה של הממוצעים? א. היא תמיד תהיה סימטרית ב. היא טרנספורמציה לינארית של התפלגות האוכלוסייה ג. ככל שהיא מתבססת על יותר מדגמים כך היא נהיית יותר נורמלית ד. עבור מדגמים קטנים, ייתכן שהתוחלת שלה תהיה שונה מתוחלת האוכלוסייה ה. עבור מדגמים גדולים, ייתכן שהצורה שלה תהיה שונה מהצורה של התפלגות האוכלוסייה

רמז: חישבו על כל אפשרות: - א. לא תמיד - עבור מדגמים קטנים מאוכלוסייה לא סימטרית, ההתפלגות לא בהכרח סימטרית. - ב. לא - היא לא טרנספורמציה לינארית של ההתפלגות המקורית. - ג. מספר המדגמים (כמה פעמים דגמנו) לא קובע - גודל כל מדגם הוא מה שחשוב. - ד. $E(\bar{X}) = \mu$ תמיד, ללא תלות בגודל המדגם. - ה. לפי משפט הגבול המרכזי, עבור מדגמים גדולים ההתפלגות מתקרבת לנורמלית גם אם האוכלוסייה לא נורמלית.

פתרון: **ה. עבור מדגמים גדולים, ייתכן שהצורה שלה תהיה שונה מהצורה של התפלגות האוכלוסייה** לפי משפט הגבול המרכזי (CLT), כאשר גודל המדגם גדול מספיק, התפלגות הדגימה של הממוצעים מתקרבת לנורמלית, **גם אם האוכלוסייה לא מתפלגת נורמלית**. לכן הצורה של התפלגות הדגימה יכולה להיות שונה מצורת האוכלוסייה. בדיקת שאר האפשרויות: - א. לא תמיד סימטרית - עבור $n$ קטן מאוכלוסייה א-סימטרית, ההתפלגות לא בהכרח סימטרית. - ב. שגוי - התפלגות הדגימה אינה טרנספורמציה לינארית של התפלגות האוכלוסייה. ממוצע של $n$ ערכים אינו טרנספורמציה לינארית של ערך בודד. - ג. שגוי - מספר המדגמים שנדגום לא משפיע על צורת ההתפלגות. **גודל** כל מדגם ($n$) הוא הגורם הקובע. - ד. שגוי - $E(\bar{X}) = \mu$ תמיד, לכל גודל מדגם.