שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2021 - שונות

נתונה קוביה בעלת 6 פאות בה כל פאה סבירה במידה שווה. פאות הקובייה ממוספרות בספרות $1,2,3,4,5,6$. הקובייה מוטלת $n$ פעמים באופן בלתי תלוי. נסמן ב-$X_i$, עבור $i \in [1,6]$, את מספר הפעמים בהן תוצאת ההטלה הייתה $i$ מתוך $n$ ההטלות. סעיף א' מצא את $Var(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6)$ ואת $COV(X_3,X_5)$. סעיף ב' הנח כעת כי מטילים את הקובייה עד הפעם הראשונה שיוצא בשתי הטלות עוקבות $j$ ו-$j+1$ את התוצאה 3 בהטלה ה-$j$ והתוצאה 5 בהטלה ה-$j+1$. יהא $Y$ מספר ההטלות. חשב את $E[Y]$.

רמז: לסעיף א', חשבו מה מייצג הסכום $\sum X_i$ ומהי ההתפלגות של הווקטור $(X_1, \dots, X_6)$. לסעיף ב', הגדירו מצבים על סמך התוצאה האחרונה והשתמשו בתוחלת מותנית כדי לבנות מערכת משוואות.

פתרון: סעיף א' **חישוב $Var(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6)$** המשתנה המקרי $X_i$ סופר את מספר הפעמים שהתקבלה התוצאה $i$ ב-$n$ הטלות. הסכום $S = X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6$ הוא סך כל התוצאות שהתקבלו. מכיוון שבכל הטלה מתקבלת בדיוק אחת מהפאות $1, 2, 3, 4, 5, 6$, סכום זה שווה למספר ההטלות הכולל, $n$. $$S = \sum_{i=1}^{6} X_i = n$$ מכיוון ש-$n$ הוא מספר קבוע שנקבע מראש, $S$ הוא משתנה מקרי קבוע. **שונות** של קבוע היא אפס. $$Var(X_1+X_2+X_3+X_4+X_5+X_6) = Var(n) = 0$$ **חישוב $COV(X_3,X_5)$** ה**וקטור האקראי** $(X_1, X_2, \dots, X_6)$ מתפלג **התפלגות מולטינומית** עם פרמטרים $n$ (מספר הניסויים) ו-$p=(p_1, \dots, p_6)$, כאשר $p_i = P(\text{תוצאה i}) = \frac{1}{6}$ לכל $i$. הנוסחה ל**שונות המשותפת** (Covariance) בין שני רכיבים $X_i, X_j$ (עם $i \neq j$) בהתפלגות מולטינומית היא: $$COV(X_i, X_j) = -n p_i p_j$$ נציב את הנתונים עבור $i=3, j=5$: $$COV(X_3, X_5) = -n \cdot p_3 \cdot p_5 = -n \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = -\frac{n}{36}$$ השונות המשותפת היא שלילית, מה שמשקף את העובדה שככל שתוצאה 3 מתקבלת יותר פעמים, כך יש פחות הטלות שנותרו לקבל בהן את תוצאה 5. $\blacksquare$ סעיף ב' נחשב את $E[Y]$ באמצעות **תוחלת מותנית** על פי התוצאה של ההטלה האחרונה. נגדיר את המצבים הבאים: * $E = E[Y]$: תוחלת מספר ההטלות עד לקבלת הרצף "3,5" מהמצב ההתחלתי. * $E_3$: תוחלת מספר ההטלות *הנוספות* הנדרשות עד לקבלת הרצף, בהינתן שההטלה האחרונה הייתה 3. נבנה מערכת משוואות עבור התוחלות: 1. **מהמצב ההתחלתי (תוחלת $E$):** אנו מטילים את הקובייה פעם אחת. * בהסתברות $\frac{1}{6}$ נקבל 3. כעת אנו במצב בו ההטלה האחרונה היא 3, ולכן תוחלת ההטלות הנוספות היא $E_3$. * בהסתברות $\frac{5}{6}$ נקבל כל תוצאה אחרת. הרצף נשבר (או לא התחיל) ואנו חוזרים למצב ההתחלתי. תוחלת ההטלות הנוספות היא $E$. לפי **נוסחת ההסתברות השלמה** עבור תוחלות: $$E = 1 + \frac{1}{6} E_3 + \frac{5}{6} E$$ מכאן, $\frac{1}{6}E = 1 + \frac{1}{6}E_3$, כלומר $E = 6 + E_3$. 2. **מהמצב בו ההטלה האחרונה היא 3 (תוחלת $E_3$):** אנו מטילים את הקובייה פעם נוספת. * בהסתברות $\frac{1}{6}$ נקבל 5. הרצף "3,5" הושלם והניסוי הסתיים. לא נדרשות הטלות נוספות. * בהסתברות $\frac{1}{6}$ נקבל 3. ההטלה האחרונה היא שוב 3, ולכן אנו נשארים באותו מצב. תוחלת ההטלות הנוספות היא עדיין $E_3$. * בהסתברות $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ נקבל תוצאה שונה מ-3 ומ-5. הרצף נשבר ואנו חוזרים למצב ההתחלתי. תוחלת ההטלות הנוספות היא $E$. לפיכך: $$E_3 = 1 + \frac{1}{6} \cdot 0 + \frac{1}{6} E_3 + \frac{4}{6} E$$ מכאן, $\frac{5}{6}E_3 = 1 + \frac{2}{3}E$, כלומר $5E_3 = 6 + 4E$. כעת נפתור את מערכת שתי המשוואות הלינאריות: (I) $E = 6 + E_3 \implies E_3 = E - 6$ (II) $5E_3 = 6 + 4E$ נציב את (I) לתוך (II): $$5(E-6) = 6 + 4E$$ $$5E - 30 = 6 + 4E$$ $$E = 36$$ לכן, תוחלת מספר ההטלות עד לקבלת הרצף "3,5" היא 36. $\blacksquare$