שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - מגנטוסטטיקה

נתונה ליבה מגנטית בצורת טורוס מחומר פרומגנטי עם $\mu_r\gg 1$. מסביב לליבה כרוך תיל נושא זרם קבוע בזמן $I$ (DC) עם $N$ ליפופים. עובי הליבה $D$ ורדיוסה $R$, כך ש-$D\ll R$. כיוון ההיקפי של הטורוס מסומן $\hat\theta$ וכיוון החתך $\hat\varphi$. רשמו את גודל השדות כפונקציה של נתוני הבעיה בלבד. **סעיף א (5 נק'):** מהי האינדוקציה המגנטית $\vec B$ בתוך הליבה? **סעיף ב (5 נק'):** מהי המגנטיזציה $\vec M$ בתוך הליבה? **סעיף ג (5 נק'):** האם צפיפות זרם המגנטיזציה הנפחי $\vec J_M$ שווה לאפס בתוך הליבה? **סעיף ד (5 נק'):** מהי צפיפות זרם המגנטיזציה המשטחי $\vec J_{MS}$ על שפת הליבה? **סעיף ה (10 נק'):** בהינתן $\vec J_M(\vec r)$, $\vec J_{MS}(\vec r)$ וצפיפות הזרם החופשי $\vec J(\vec r)$, רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל המגנטי הוקטורי $\vec A(\vec r)$. כעת נתון שהזרם הוא $I(t)=I_{AC}\cos(\omega t)$, וההתקן במשטר מגנטו-קוואזי-סטטי. **סעיף ו (10 נק'):** חשבו את הפאזור של השדה החשמלי $\vec E$ (בהנחה שהוא בכיוון המשיקי של הזרם, $\hat\varphi$). כעת נתון $I(t)=I_{DC}+I_{AC}\cos(\omega t)$. **סעיף ז (10 נק'):** מצאו את השדה החשמלי $\vec E$ בתחום הזמן, בהנחת מגנטו-קוואזי-סטטיקה. **סעיף ח (10 נק'):** נתון עקום $B$–$H$ המגיע לרוויה $B_s$, וכי $I_{DC}$ יוצר $B_s$ עם $I_{DC}\gg I_{AC}$. כיצד תשתנה התשובה לסעיף ז?

רמז: בטורוס $H=NI/2\pi R$ (אמפר) ו-$B=\mu_0\mu_r H$ בכיוון $\hat\theta$; $\vec M=(\mu_r-1)\vec H$, ובגלל שכיוון $\vec M$ משתנה מרחבית $\vec J_M=\nabla\times\vec M\neq0$. את $\vec E$ המושרה מקבלים מפאראדיי $\oint\vec E\cdot d\vec l=-j\omega\Phi$; רק ה-AC תורם, וברוויה גם הוא מתאפס.

פתרון: **סעיף א:** השטף כלוא בליבה בכיוון $\hat\theta$. מחוק אמפר $\oint\vec H\cdot d\vec l=NI$: $H\cdot 2\pi R=NI$, ולכן $$|\vec B|=\mu_0\mu_r\frac{NI}{2\pi R}\quad(\hat\theta).$$ **סעיף ב:** מ-$\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)$: $\vec M=(\mu_r-1)\vec H$, כלומר $|\vec M|=(\mu_r-1)\frac{NI}{2\pi R}$ בכיוון $\hat\theta$. **סעיף ג:** $\vec J_M=\nabla\times\vec M$. אף שגודל $\vec M$ קבוע, כיוונו ($\hat\theta$) משתנה מרחבית, ולכן ל-$\vec M$ יש רוטור ו-$\vec J_M\neq 0$ בתוך הליבה. **סעיף ד:** $\vec J_{MS}=\vec M\times\hat n$, כאשר $\hat n$ רדיאלי (ניצב ל-$\vec M$), ולכן $|\vec J_{MS}|=|\vec M|=(\mu_r-1)\frac{NI}{2\pi R}$, בכיוון ההופכי לזרם $I$. **סעיף ה:** מהתרומות של זרמי המגנטיזציה והזרם החופשי: $$\vec A(\vec r)=\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\oint_S\frac{\vec J_{MS}(\vec r\,')}{|\vec r-\vec r\,'|}\,dS'+\int_V\frac{\vec J_M(\vec r\,')+\vec J(\vec r\,')}{|\vec r-\vec r\,'|}\,dV'\right].$$ **סעיף ו:** מחוק פאראדיי האינטגרלי $\oint\vec E\cdot d\vec l=-j\omega\iint\vec B\cdot d\vec a$: $-E\cdot 2\pi r=-j\omega|\vec B|\pi r^2$, ולכן $$\vec E=-\frac{1}{2}j\omega r\,\mu_0\mu_r\frac{N I}{2\pi R}\,\hat\varphi.$$ **סעיף ז:** בתחום הזמן, רק רכיב ה-AC מושרה (השטף ה-DC קבוע בזמן ואינו תורם שדה מושרה): $$\vec E(\vec r,t)=\frac{1}{2}r\omega\mu_0\mu_r\frac{N}{2\pi R}I_{AC}\sin(\omega t)\,\hat\varphi.$$ **סעיף ח:** כעת החומר ברוויה ב-DC: כל הדיפולים מסודרים, ושינויי ה-AC הקטנים ($I_{DC}\gg I_{AC}$) גורמים לשינוי זניח ב-$\vec B$. לכן השדה המושרה מתאפס בקירוב, $\vec E\approx 0$. $\blacksquare$