שאלת מבחן בהסתברות - אוניברסיטת בר-אילן 2025 - משתנה מקרי בדיד

לקוח עובר בין $n$ מאפיות. בהגיעו למאפיה, הוא קונה מצה אקראית. בהסתברות $\frac{1}{4}$ יקבל מצה עם שוקולד שעולה 10₪ ובהסתברות $\frac{3}{4}$ יקנה מצה רגילה שעולה $\frac{2}{3}$₪. בכל מקרה, לאחר שישלם עליה, יעבור למאפיה הבאה. יהא $X_i$ מ"מ המציין את הסכום אותו שילם במאפיה ה-$i$-ית. נתבונן על העלות הממוצעת של מצה: $$\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$ סעיף א: (8 נק') מצא את התוחלת וסטיית התקן של $\overline{X}_n$. סעיף ב: (9 נק') קבע, החל מאיזה $n \in \mathbb{N}$, מתקים כי $P\left(\overline{X}_n \in \left(\frac{2}{3}, \frac{16}{3}\right)\right) \ge \frac{96}{99}$ סעיף ג: (8 נק') נתבונן בסכום הכולל שהלקוח שילם באותו היום: $$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$$ מצא קֵרוב להסתברות $P\left(S_n \le 3n + \sqrt{\frac{49n}{48}}\right)$. האם הערך שקיבלת תלוי ב-$n$?

רמז: הצעד הראשון הוא לחשב את התוחלת והשונות של עלות מצה בודדת, $X_i$. לאחר מכן, השתמשו בתכונותיהם עבור סכומים וממוצעים, יחד עם אי-שוויון צ'בישב ומשפט הגבול המרכזי.

פתרון: ראשית, נגדיר את המשתנה המקרי $X_i$ המייצג את הסכום ששולם במאפיה ה-$i$. המשתנה יכול לקבל שני ערכים: $X_i = 10$ בהסתברות $rac{1}{4}$ $X_i = \frac{2}{3}$ בהסתברות $rac{3}{4}$ נשים לב כי המשתנים $X_1, X_2, ..., X_n$ הם בלתי תלויים ושווי התפלגות (בנוסף להיותם בדידים). **סעיף א: תוחלת וסטיית תקן של $\overline{X}_n$** ראשית, נחשב את ה**תוחלת** וה**שונות** של משתנה מקרי בודד $X_i$. התוחלת של $X_i$ היא: $$E[X_i] = 10 cdot \frac{1}{4} + \frac{2}{3} cdot \frac{3}{4} = \frac{10}{4} + \frac{2}{4} = \frac{12}{4} = 3$$ נצטרך גם את $E[X_i^2]$ לחישוב השונות: $$E[X_i^2] = 10^2 cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{2}{3}\right)^2 cdot \frac{3}{4} = 100 cdot \frac{1}{4} + \frac{4}{9} cdot \frac{3}{4} = 25 + \frac{1}{3} = \frac{76}{3}$$ השונות של $X_i$ היא: $$\sigma^2 = Var(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 = \frac{76}{3} - 3^2 = \frac{76}{3} - 9 = \frac{76-27}{3} = \frac{49}{3}$$ כעת, נמצא את התוחלת של הממוצע $\overline{X}_n$: $$E[\overline{X}_n] = E\left[\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right] = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n E[X_i] = \frac{1}{n} cdot n cdot E[X_1] = 3$$ נמצא את השונות של הממוצע $\overline{X}_n$. מכיוון שהמשתנים בלתי תלויים: $$Var(\overline{X}_n) = Var\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\right) = \frac{1}{n^2} \sum_{i=1}^n Var(X_i) = \frac{1}{n^2} cdot n cdot Var(X_1) = \frac{Var(X_1)}{n} = \frac{49/3}{n} = \frac{49}{3n}$$ **סטיית התקן** של $\overline{X}_n$ היא שורש השונות: $$SD(\overline{X}_n) = \sqrt{Var(\overline{X}_n)} = \sqrt{\frac{49}{3n}} = \frac{7}{\sqrt{3n}}$$ **סעיף ב: קביעת $n$** אנו רוצים למצוא את ה-$n$ הקטן ביותר עבורו $P\left(\overline{X}_n in \left(\frac{2}{3}, \frac{16}{3}\right)\right) \ge \frac{96}{99}$. נשים לב כי מרכז הקטע $\left(\frac{2}{3}, \frac{16}{3}\right)$ הוא $\frac{1}{2}(\frac{2}{3} + \frac{16}{3}) = \frac{1}{2}(\frac{18}{3}) = 3$, שזהו בדיוק $E[\overline{X}_n]$. המרחק מהמרכז לקצוות הקטע הוא $k = 3 - \frac{2}{3} = \frac{7}{3}$. לכן, ניתן לכתוב את ההסתברות באופן שקול: $$P\left(|\overline{X}_n - 3| < \frac{7}{3}\right) \ge \frac{96}{99}$$ נשתמש ב**אי-שוויון צ'בישב** בצורתו המשלימה: $P(|Y - E[Y]| < k) \ge 1 - \frac{Var(Y)}{k^2}$. במקרה שלנו, $Y = \overline{X}_n$, $E[Y] = 3$, $Var(Y) = \frac{49}{3n}$ ו-$k = \frac{7}{3}$. $$P\left(|\overline{X}_n - 3| < \frac{7}{3}\right) \ge 1 - \frac{Var(\overline{X}_n)}{k^2} = 1 - \frac{49/(3n)}{(7/3)^2} = 1 - \frac{49/(3n)}{49/9} = 1 - \frac{49}{3n} cdot \frac{9}{49} = 1 - \frac{3}{n}$$ כעת, נדרוש שהחסם שמצאנו יקיים את אי-השוויון הנתון: $$1 - \frac{3}{n} \ge \frac{96}{99} \implies -\frac{3}{n} \ge \frac{96}{99} - 1 = -\frac{3}{99} = -\frac{1}{33}$$ נכפיל במינוס 1 ונהפוך את סימן אי-השוויון: $$\frac{3}{n} \le \frac{1}{33} \implies 3 cdot 33 \le n \implies 99 \le n$$ הערך הטבעי הקטן ביותר המקיים תנאי זה הוא $n=99$. $\blacksquare$ **סעיף ג: קרוב להסתברות** אנו מתבקשים למצוא קרוב להסתברות $P\left(S_n \le 3n + \sqrt{\frac{49n}{48}}\right)$, כאשר $S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ הוא סכום של משתנים מקריים בלתי תלויים ושווי התפלגות. מאחר ו-$n$ גדול, ניתן להשתמש ב**משפט הגבול המרכזי (CLT)**. לפיו, התפלגות הסכום המתוקנן (סטנדרטי) שואפת להתפלגות נורמלית סטנדרטית. אנו יודעים כי $E[S_n] = n E[X_1] = 3n$ ו-$Var(S_n) = n Var(X_1) = \frac{49n}{3}$. נבצע **תקנון (סטנדרטיזציה)** של המשתנה $S_n$: $$P\left(S_n \le 3n + \sqrt{\frac{49n}{48}}\right) = P\left(S_n - E[S_n] \le 3n + \sqrt{\frac{49n}{48}} - 3n\right)$$ $$= P\left(\frac{S_n - E[S_n]}{\sqrt{Var(S_n)}} \le \frac{\sqrt{49n/48}}{\sqrt{49n/3}}\right)$$ על פי ה-CLT, האגף השמאלי מתפלג בקירוב כמו משתנה מקרי נורמלי סטנדרטי, $Z sim N(0,1)$. נחשב את הערך באגף ימין: $$\frac{\sqrt{49n/48}}{\sqrt{49n/3}} = \sqrt{\frac{49n/48}{49n/3}} = \sqrt{\frac{49n}{48} cdot \frac{3}{49n}} = \sqrt{\frac{3}{48}} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4} = 0.25$$ לכן, ההסתברות המבוקשת היא בקירוב: $$P\left(Z \le 0.25\right) = \Phi(0.25)$$ כאשר $\Phi$ היא פונקציית ההתפלגות המצטברת של ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית. הערך שקיבלנו הוא קבוע ($ \Phi(0.25) \approx 0.5987$) **ואינו תלוי ב-$n$**. $\blacksquare$