שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017 - עוצמת שדה מגנטי

יריעת זרם אינסופית במישור $y$-$z$ ממוקמת ב-$x=0$ ותלויה ב-$y$: $\vec K(x=0,y)=\hat i_z\,K_0\cos(ky)$. באזור $x<0$ חומר בעל פרמיאביליות אינסופית ($\mu\to\infty$); באזור $x>s$ חומר בעל מוליכות אינסופית ($\sigma\to\infty$) ופרמיאביליות אפס ($\mu=0$), והשדה המגנטי מתאפס בו; בין האזורים ($0<x<s$) מרחב חופשי מבודד מושלם ($\sigma=0$). **א.** מהו כיוון השדה המגנטי ובאילו קואורדינטות הוא תלוי? **ב.** מהם תנאי השפה עבור $\vec H(x,y)$ בתוך ההתקן ($0<x<s$)? **ג.** מהי המשוואה שהפוטנציאל המגנטי הסקלרי $\chi(x,y)$ מקיים ב-$0<x<s$? הציעו צורת פתרון. **ד.** מהו השדה המגנטי בתחום $0<x<s$ ובתחום $x<0$? **ה.** מהו הזרם המשטחי ב-$x=s$? **ו.** מהי האנרגיה המגנטית ליחידת אורך $z$ האגורה בתחום $0<x<s$, $0<y<\dfrac{2\pi}{k}$? (היעזרו ב-$\cosh^2x+\sinh^2x=\cosh 2x$.) עבור הסעיפים הבאים, בתחום $0<x<s$ יש כעת מוליכות סופית, פילוג הזרם שונה לזרם קבוע על מישור $y=0$ ($\vec K(x,y=0)=\hat i_z K_0$), והחומר ב-$x<0$ הוחלף למוליכות אינסופית. גובה ההתקן $\Delta y\gg s$; הזניחו אפקטי קצוות. **ז.** מהו פילוג וכיוון הזרם הנפחי בהתקן? **ח.** מהו הלפלסיאן של פילוג הזרם הנפחי ($\nabla^2\vec J$)? נדרש פיתוח מלא. **ט.** בהנחת כיול לורנץ $\nabla\cdot\vec A+\dfrac{1}{c^2}\dfrac{\partial\phi}{\partial t}=0$, מהו הלפלסיאן של הפוטנציאל הווקטורי, ומהי צורת הפתרון של $\vec A$? (ציינו כיוון ותלות בקואורדינטות.)

רמז: בתחום החופשי אין זרם ⇒ $\vec H=-\nabla\chi$, $\nabla^2\chi=0$ עם $\chi=\sin(ky)(Ae^{-kx}+Ce^{kx})$; תנאי הקצה $H_x(s)=0$, $H_y(0)=K_0\cos(ky)$ נותנים שדה $\propto1/\cosh(ks)$. בתת-הבעיה השנייה הזרם אחיד ($\nabla^2\vec J=0$ כי $\nabla\cdot\vec J=\nabla\times\vec J=0$), וכיול לורנץ נותן $\nabla^2\vec A=-\mu_0\vec J$ ⇒ $A_z$ ריבועי ב-$y$.

פתרון: **א.** $\vec H=H_x(x,y)\hat i_x+H_y(x,y)\hat i_y$ — במישור $x$-$y$, תלוי ב-$x,y$ (אין רכיב $z$ ואין תלות ב-$z$). **ב.** ב-$x<0$ ($\mu\to\infty$) השדה בפנים מתאפס, ומרציפות $B_x$: $\mu_0H_x(x=0^+)=\mu_\infty H_x(x=0^-)=\text{const}$. מיריעת הזרם: $H_y(x=0^+)=K_0\cos(ky)$. ב-$x=s$ (אל תוך $\mu=0$, $H=0$): $H_x(x=s^-)=0$. **ג.** בהיעדר זרם חופשי בתחום, $\nabla\times\vec H=0\Rightarrow\vec H=-\nabla\chi$, ו-$\nabla\cdot\vec H=0\Rightarrow\nabla^2\chi=0$ (לפלס). צורת פתרון: $$\chi(x,y)=\sin(ky)\big(Ae^{-kx}+Ce^{kx}\big)$$ **ד.** $\vec H=-\nabla\chi$; מהתנאים $H_x(s^-)=0$ ו-$H_y(0^+)=K_0\cos(ky)$ מתקבל $C=-\dfrac{K_0/k}{1+e^{2ks}}$, $A=-\dfrac{K_0e^{2ks}/k}{1+e^{2ks}}$, כלומר $$\vec H(0<x<s)=\dfrac{K_0}{\cosh(ks)}\Big[\sin(ky)\sinh\!\big(k(x-s)\big)\hat i_x+\cos(ky)\cosh\!\big(k(x-s)\big)\hat i_y\Big],$$ ובתחום $x<0$: $\vec H=0$. **ה.** $K_z(x=s)=-H_y(x=s^-)=\dfrac{K_0\cos(ky)}{\cosh(ks)}$ (בכיוון $\hat z$). **ו.** $\langle w_m\rangle=\tfrac14\vec B\cdot\vec H^*=\dfrac{\mu_0}{4}\!\left(\dfrac{K_0}{\cosh ks}\right)^2\!\big[\sin^2(ky)\sinh^2(k(x-s))+\cos^2(ky)\cosh^2(k(x-s))\big]$. אינטגרציה על $0<y<2\pi/k$ (כל אחד מ-$\sin^2,\cos^2$ נותן $\pi/k$) ו-$\cosh^2+\sinh^2=\cosh2$: $$W_m=\dfrac{\mu_0\pi}{4k}\!\left(\dfrac{K_0}{\cosh ks}\right)^2\!\int_0^s\cosh\!\big(2k(x-s)\big)dx=\dfrac{\mu_0\pi K_0^2}{8k^2}\dfrac{\sinh(2ks)}{\cosh^2(ks)}$$ **ז.** הזרם אחיד: $\vec J=-\hat i_z\dfrac{K_0}{\Delta y}$. **ח.** $\nabla^2\vec J=0$: מהרציפות $\nabla\cdot\vec J=0$, ומ-$\nabla\times\vec E=0$ (וזרם $\vec J=\sigma\vec E$) נובע $\nabla\times\vec J=0$; לכן $\nabla\times(\nabla\times\vec J)=\nabla(\nabla\cdot\vec J)-\nabla^2\vec J=-\nabla^2\vec J=0$. **ט.** מכיול לורנץ $\nabla^2\vec A=-\mu_0\vec J=\mu_0\dfrac{K_0}{\Delta y}\hat i_z$, ולכן $\vec A$ בכיוון $\hat z$ ותלוי ב-$y$ בלבד: $$A_z(y)=-\mu_0\dfrac{K_0}{2\Delta y}y^2+by+c,\qquad \vec H=\dfrac{1}{\mu_0}\nabla\times\vec A.$$ $\blacksquare$