שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2017 - קוואזי-סטטיקה

התקן: שני לוחות מוליכים מושלמים ברדיוס $R_2$ (עובי אינפיניטסימלי), וגליל מרכזי ברדיוס $R_1$ מחומר דיאלקטרי — בחציו העליון $\epsilon_1=\epsilon_{r_1}\epsilon_0$ ומוליכות $\sigma_1$, בחציו התחתון $\epsilon_2=\epsilon_{r_2}\epsilon_0$ ומוליכות $\sigma_2$ ($\epsilon_{r_i}>1$). מקור זרם מזרים $I_0\cos(\omega t)$ אחיד לאורך שפת הלוחות. $d\ll R_{1,2}$; השדות מחוץ אפס; מזניחים אפקטי קצוות. **א.** מהו התנאי על $\omega$ כדי שהמשטר יהיה קווזי-סטטי? עבור סעיפים ב-ג נתון $\sigma_1,\sigma_2\ll\omega\epsilon$: **ב.** מהו משטר העבודה? מהם כיווני השדה הדומיננטי והמשני ($r<R_1$)? **ג.** האם חוק קירכהוף למתחים מתקיים? והזרמים? עבור סעיפים ד-ז נתון $\mu\omega\sigma_i\ll\dfrac{1}{R_2^2}$ (ו-$\sigma_1,\sigma_2\gg\omega\epsilon$): **ד.** מהו משטר העבודה ומהו השדה הדומיננטי ($r<R_1$)? **ה.** האם חוקי קירכהוף (מתחים וזרמים) מתקיימים? **ו.** מצאו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי ($r<R_1$) והסבירו את הרכבו. **ז.** מצאו את אימפדנס הכניסה ושרטטו מעגל מקובץ שקול (עם ערכי הרכיבים). **ח.** עבור סעיף זה בלבד $\sigma_2=2\sigma_1(1-\tfrac{z}{d})$ וצפיפות הזרם קבועה. האם יש הצטברות מטען בנפח הגליל? אם כן חשבו. **ט.** עבור סעיף זה בלבד מגדילים את $\sigma_{1,2}$ כך ש-$\sigma_{1,2}>\dfrac{1}{\mu\omega R_2^2}$. איך ייראה מעגל התמורה המקובץ?

רמז: QS דורש $\lambda\gg R_2$. עם $\sigma\ll\omega\epsilon$ אין מעגל סגור ⇒ EQS (E בכיוון $\hat z$); KCL נשבר בממשק $z=d/2$. עם $\sigma\gg\omega\epsilon$ ⇒ זרימה סטציונרית, $\vec E=-\frac{I_0}{\sigma_i\pi R_1^2}\hat z$, פוינטינג ממשי, $Z_{in}$ = שני נגדים בטור. הגדלת $\sigma$ מעבר ל-$1/(\mu\omega R_2^2)$ מוסיפה השראויות (אפקט קרום).

פתרון: **א.** מכיוון התקדמות ההספק, $\dfrac{2\pi c}{R_2\sqrt{\epsilon_{r_i}}}\gg\omega$, כלומר $\lambda\gg R_2$. **ב.** משטר **אלקטרו-קווזי-סטטי (EQS)**: בתדר DC, כאשר מוציאים את ה"נגד" ($\sigma\ll\omega\epsilon$), אין מעגל זרימה סגור. השדה החשמלי בכיוון $\hat z$ (דומיננטי, כמו קבל), והמגנטי בכיוון $\hat\varphi$ (משני). **ג.** חוק קירכהוף למתחים **מתקיים** (השדה החשמלי משמר, $\nabla\times\vec E=0$). חוק קירכהוף לזרמים **אינו מתקיים** במשטח ההפרדה $z=d/2$: מכיוון ש-$\sigma_i,\epsilon_i$ שונים, $J_{in}-J_{out}=\sigma_1E_1-\sigma_2E_2\ne0$. **ד.** משטר **זרימה סטציונרית** ($\sigma\gg\omega\epsilon$, $\delta\gg R$). השדה הדומיננטי חשמלי בכיוון $\hat z$, קבוע בכל חצי; מ-$I_0=\sigma_iE_i\pi R_1^2$: $$\vec E=-\dfrac{I_0}{\sigma_i\pi R_1^2}\hat z$$ כאשר $\sigma_i=\sigma_1$ עבור $z>d/2$ ו-$\sigma_i=\sigma_2$ עבור $z<d/2$. **ה.** שניהם מתקיימים: מתחים — כי $\vec E$ משמר; זרמים — כי $\nabla\cdot\vec J=0$ בזרימה סטציונרית (ובממשק $\sigma_1E_1=\sigma_2E_2$). **ו.** מחוק אמפר $\vec H=-\dfrac{r}{2\pi R_1^2}I_0\hat\varphi$ ($r<R_1$), ולכן $$\vec S=\tfrac12\vec E\times\vec H^*=-\dfrac{|I_0|^2\,r}{4\pi^2\sigma_iR_1^4}\hat r$$ הפוינטינג **ממשי לחלוטין** (זרימה סטציונרית) ונע פנימה — מהמקור אל ה"נגד". **ז.** המתח $V_{in}=-\int_0^d\vec E\cdot d\vec z=\dfrac{d}{2}\!\left(\dfrac{I_0}{\sigma_1\pi R_1^2}+\dfrac{I_0}{\sigma_2\pi R_1^2}\right)$, ולכן $$Z_{in}=\dfrac{d/2}{\sigma_1\pi R_1^2}+\dfrac{d/2}{\sigma_2\pi R_1^2}$$ ממשי — שני **נגדים בטור** ($R_i=\dfrac{d/2}{\sigma_i\pi R_1^2}$). **ח.** כן, יש הצטברות מטען. עם $\vec J=\dfrac{I_0}{\pi R_1^2}\hat z$ קבוע ו-$\rho=\nabla\cdot\vec D=\epsilon\nabla\cdot\!\left(\dfrac{\vec J}{\sigma}\right)=\epsilon|J|\,\partial_z\!\left(\dfrac{1}{\sigma_2}\right)$: $$\rho(z)=\dfrac{\epsilon|J|}{2d\,\sigma_1\left(1-\tfrac{z}{d}\right)^2}$$ (וכן מטען משטחי ב-$z=d/2$). **ט.** כעת $\sigma_{1,2}>\dfrac{1}{\mu\omega R_2^2}$ — כבר לא זרימה סטציונרית (האנרגיה המגנטית האגורה, מאפקט הקרום, אינה זניחה). מעגל התמורה: **נגד והשראה בטור לכל חצי** (R–L–R–L בטור). $\blacksquare$