שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2016 - קוואזי-סטטיקה

מערכת קו תמסורת עילי: שני חוטים בגובה $h=20\,\text{m}$, מרחק בין החוטים $d=5\,\text{m}$, אורך $L=10\,\text{km}$. בכניסה מוזרק זרם $I(t)=\mathrm{Re}[I_0e^{j\omega t}]$ עם $f=50\,\text{Hz}$, $I_0=1\,\text{kA}$. הנקודה $A$ בראשית, התיל מוליך מושלם, $\vec E_{x,y}(z=L)=0$, ומצב התפשטות TEM. בחישוב השדה המגנטי ניתן להזניח אפקטי קצוות (חוטים אינסופיים). **א.** חשבו את אורך הגל. האם ניתן להניח קווזי-סטטיקה? קבעו את המשטר. **ב.** רשמו שדות חשמלי ומגנטי מסדר אפס. **ג.** שרטטו את קווי השדה הדומיננטי במישור $XY$. **ד.** חשבו את השדה הדומיננטי על פני הקרקע במרחק שווה בין שני התיילים. **ה.** רשמו את המשוואה הדיפרנציאלית של התיקון הראשון לשדה המשני. **ו.** חשבו את התיקון הראשון לשדה המשני על פני הקרקע במרחק שווה בין התיילים. **ז.** ציירו את קווי השדה המשני במישור $XY$ עבור $-\tfrac{d}{2}\le x\le\tfrac{d}{2}$. **ח.** מציבים סליל על הקרקע במרחק שווה בין התיילים למדידת השדה המגנטי; $N$ ליפופים, קוטר $D\ll d$, $\mu_r=1$. **(a)** מהי האוריינטציה הנדרשת? **(b)** חשבו את מתח ההדקים הפתוחים המושרה.

רמז: $\lambda=c/f=6000$ km ≫ מידות ⇒ QS; זרם בלולאה סגורה ⇒ MQS ($\vec E^{(0)}=0$). $\vec H^{(0)}$ = על שני חוטים ($I/2\pi r$), ובמרכז על הקרקע $\vec H=-\frac{Id}{2\pi}\frac{1}{(d/2)^2+h^2}\hat y$. התיקון $\vec E^{(1)}$ מ-$\nabla\times\vec E^{(1)}=-\partial_t(\mu\vec H^{(0)})$ עם $E(L)=0$; מתח הסליל $V=-N\partial_t\phi_B$.

פתרון: **א.** $\lambda=\dfrac{c}{f}=\dfrac{3\cdot10^8}{50}=6\cdot10^6\,\text{m}=6000\,\text{km}$. כל מידות הבעיה קטנות בהרבה מ-$\lambda$, ולכן ניתן להניח קווזי-סטטיקה. המקור הוא זרם במסלול סגור, ולכן השדה הדומיננטי מגנטי — המשטר **MQS**. **ב.** $\vec E^{(0)}=0$; שני חוטים ארוכים נושאים זרמים מנוגדים: $$\vec H^{(0)}=\dfrac{I}{2\pi|\vec r-\vec r_1|}\hat\phi_1-\dfrac{I}{2\pi|\vec r-\vec r_2|}\hat\phi_2$$ **ג.** קווי שדה מעגליים סביב כל חוט (בכיוונים מנוגדים), הצפופים ביניהם. **ד.** על הקרקע במרכז ($x=0$) השדה בכיוון $\hat y$. מכל חוט נפתחת אותה זווית $\theta$ אל הנקודה, $r=\sqrt{(d/2)^2+h^2}$, וסכימת שתי התרומות (עם $\cos\theta=\tfrac{d/2}{r}$): $$\vec H(0,0,z)=2\cdot\dfrac{I}{2\pi r}\dfrac{d/2}{r}(-\hat y)=-\dfrac{Id}{2\pi}\dfrac{1}{(d/2)^2+h^2}\hat y$$ **ה.** $\nabla\times\vec E^{(1)}=-\dfrac{\partial}{\partial t}\!\left(\mu\vec H^{(0)}\right)$. **ו.** לאורך $x=0$ יש רק רכיב $H_y$, ולכן $\dfrac{\partial E_x^{(1)}}{\partial z}=\mu_0\dfrac{\partial}{\partial t}\!\left(\dfrac{Id}{2\pi}\dfrac{1}{(d/2)^2+h^2}\right)$; אינטגרציה עם התנאי $E_x^{(1)}(z=L)=0$ נותנת $$E_x^{(1)}(0,0,z)=j\omega\mu_0\dfrac{Id}{2\pi}\dfrac{1}{(d/2)^2+h^2}(z-L)$$ **ז.** קווי השדה החשמלי המשני יוצאים/נכנסים לחוטים (מבנה דיפולרי במישור $XY$). **ח. (a)** יש להציב את הסליל כך שצירו בכיוון השדה המגנטי $\hat y$ (למקסום השטף). **(b)** עם שטח $\pi(D/2)^2$ ו-$N$ ליפופים: $$V=-N\dfrac{\partial\phi_B}{\partial t}=j\omega N\pi\!\left(\dfrac{D}{2}\right)^2\mu_0\dfrac{Id}{2\pi}\dfrac{1}{(d/2)^2+h^2}$$ $\blacksquare$