שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - גלים אלקטרומגנטיים

נתון חתך התקן אלקטרומגנטי במישור $xz$. ההתקן אינסופי ואחיד בכיוון $y$ וחצי-אינסופי בכיוון $z$. הדפנות ב-$x=0$ ו-$x=d$ עשויות מוליך מושלם, השדות מחוץ להתקן אפס, והתווך בפנים ריק. ההתקן דק מאוד ביחס לאורך הגל ($d\ll\lambda$). בכניסה ($z=0$) מאולץ מקור מתח $V(t)=V_0\cos(\omega t)$. עבור סעיפים א–ג נניח שהשדות מקיימים את משוואת הגלים בריק. **סעיף א (5 נק'):** מהם כיווני השדה החשמלי והמגנטי בהתקן ובאילו קואורדינטות הם תלויים? **סעיף ב (5 נק'):** הוכיחו כי השדה החשמלי משמר על פני המישורים $z=const.$ **סעיף ג (7 נק'):** מצאו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי בתוך ההתקן (כולל הקבועים). כעת סוגרים את ההתקן ב-$z=L$ בלוח מוליך מושלם, והתווך בפנים מאופיין ע"י $\sigma,\ \varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_r,\ \mu_0$ קבועים, כאשר $\sigma\gg\omega\varepsilon_0\varepsilon_r$. **סעיף ד (5 נק'):** פתחו את המשוואה הדיפרנציאלית מסדר שני עבור השדה החשמלי. **סעיף ה (5 נק'):** רשמו את הביטוי הכללי לפאזורי השדה החשמלי והמגנטי (ללא חישוב הקבועים). **סעיף ו (5 נק'):** בסעיף זה בלבד נתון $L\to\infty$. חזרו על סעיף ה. **סעיף ז (8 נק'):** איזה תנאי צריך $L$ לקיים כדי שהתוצאה מסעיף ו תהיה נכונה בקירוב? האם ייתכן שהתקן כזה יהיה במשטר קוואזי-סטטי?

רמז: בין הדפנות המוליכות $\vec E=E(z)\hat x$; במקטע הריק זהו גל מתקדם $e^{-jkz}$ עם $A=-V_0/d$. עם מוליכות ($\sigma\gg\omega\varepsilon$) משוואת הגלים הופכת למשוואת דיפוזיה $\partial^2_z E=j\omega\mu_0\sigma E$ עם דעיכה על סקלת עומק החדירה $\delta=\sqrt{2/\omega\mu_0\sigma}$.

פתרון: **סעיף א:** ההתקן צר בכיוון $x$ ואינסופי-אחיד בכיוון $y$, ולכן $\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}=0$. מרציפות השדה המשיק בדפנות $E_y(x=0,d)=E_z(x=0,d)=0$, ולכן $\vec E=E(z)\hat x$. מכיוון ההספק $\vec S=S\hat z$ נובע $\vec H=H(z)\hat y$. **סעיף ב:** על מישור $z=const.$ הנורמל הוא $\hat z$, והשדה המגנטי בכיוון $\hat y$. מחוק פאראדיי האינטגרלי $\oint\vec E\cdot d\vec l=-j\omega\mu_0\iint H\,\hat y\cdot\hat z\,da=0$, ולכן השדה החשמלי **משמר** על מישורים אלו. $\blacksquare$ **סעיף ג:** בכניסה $\int_0^d E_x(z=0)\,dx=-V_0$, וההתקן חצי-אינסופי ולכן אין גל חוזר: $E_x=A e^{-jkz}$ עם $A\,d=-V_0$. לפיכך $$\vec E=-\frac{V_0}{d}e^{-jkz}\hat x,\qquad \vec H=-\frac{kV_0}{\omega\mu_0 d}e^{-jkz}\hat y,\qquad k=\frac{\omega}{c}.$$ **סעיף ד:** עם מוליכות: $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$ ו-$\nabla\times\vec H=(j\omega\varepsilon_0\varepsilon_r+\sigma)\vec E\approx\sigma\vec E$. מרוטור-רוטור $\nabla^2\vec E=j\omega\mu_0\sigma\vec E$, כלומר $$\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}=j\omega\mu_0\sigma\,E_x=\gamma^2 E_x.$$ **סעיף ה:** $\gamma=\sqrt{j\omega\mu_0\sigma}=(1+j)\sqrt{\frac{\omega\mu_0\sigma}{2}}=\frac{1+j}{\delta}$, $\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$. לכן $$E_x(z)=A e^{-\frac{1+j}{\delta}z}+B e^{\frac{1+j}{\delta}z},\qquad H_y=\frac{j-1}{\omega\mu_0\delta}\left(-A e^{-\frac{1+j}{\delta}z}+B e^{\frac{1+j}{\delta}z}\right).$$ **סעיף ו:** עבור $L\to\infty$ אין גל חוזר ($B=0$): $$E_x(z)=A e^{-\frac{1+j}{\delta}z},\qquad H_y=-A\frac{j-1}{\omega\mu_0\delta}e^{-\frac{1+j}{\delta}z}.$$ **סעיף ז:** הפרמטר הרלוונטי הוא **עומק החדירה** $\delta$. אם $\delta$ קטן ביחס לאורך ההתקן, השדה דועך לפני שמגיע לקצה ואין גל חוזר, ולכן התנאי הוא $L\gg\delta=\sqrt{\frac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$. בהתקן כזה השדה משתנה על מרחק קצר מאוד בכיוון ההתקדמות, ולכן **אינו יכול** להיות במשטר קוואזי-סטטי. $\blacksquare$