שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020

קורס: שדות אלקטרומגנטיים

אוניברסיטה: הטכניון

שנה: 2020

סמסטר: א

נושאים: מגנטיזציה, חומרים מגנטיים, משוואת לפלס, עוצמת שדה מגנטי, שדה מגנטי, חוק אמפר

רמת קושי: קשה

נתון גליל בעל רדיוס $R$, אינסופי ביחס לציר $z$. מחוץ לגליל וקטור המגנטיזציה הוא $\vec M_{out}=M_1\hat y$, ובתוך הגליל $\vec M_{in}=M_2\hat x$ ($M_1,M_2$ קבועים נתונים, $\varepsilon_r=1$). מרכז הגליל מתלכד עם ראשית הצירים. **א.** מהי צפיפות מטען הקיטוב (המגנטי) המשטחי $\rho_{sm}$ על פני הגליל? **ב.** בעזרת משוואות מקסוול הסבירו מדוע ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי $U_m$. **ג.** מצאו את $U_m$ בכל המרחב (בהנחה $|U_m(r\to\infty)|<\infty$). **ד.** מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב. כעת נתון כי בתוך הגליל קיימת צפיפות זרם נפחית $\vec J=J_0\hat z$, בנוסף למגנטיזציה. **ה.** בעזרת משוואות מקסוול הסבירו האם כעת ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי. **ו.** מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב.

רמז: בהיעדר זרמים חופשיים $\nabla\times\vec H=0\Rightarrow\vec H=-\nabla U_m$ עם משוואת לפלס ותנאי קפיצה $\rho_{sm}=M_2\cos\theta-M_1\sin\theta$ (פתרונות דיפולריים $\propto\rho$ בפנים, $\propto1/\rho$ בחוץ). כשמתווסף זרם נפחי אין פוטנציאל סקלרי — מפצלים בסופרפוזיציה ומוסיפים את תרומת חוק אמפר לגליל הזרם.

פתרון: **א.** צפיפות מטען הקיטוב המגנטי המשטחי היא $\rho_{sm}=-\hat n\cdot(\vec M_{out}-\vec M_{in})=\hat\rho\cdot(\vec M_{in}-\vec M_{out})$. עם $\vec M_{in}\cdot\hat\rho=M_2\cos\theta$ ו-$\vec M_{out}\cdot\hat\rho=M_1\sin\theta$: $$\rho_{sm}=M_2\cos\theta-M_1\sin\theta$$ **ב.** בהיעדר זרמים חופשיים $\nabla\times\vec H=0$, ולכן ניתן לכתוב $\vec H=-\nabla U_m$. כמו כן המגנטיזציה אחידה בכל תחום ($\nabla\cdot\vec M=0$ בנפח), ולכן $U_m$ מקיים את משוואת לפלס וכל המקורות הם משטחיים. **ג.** בבחירת $\phi_{in}=A\cos\theta\,\rho+B\sin\theta\,\rho$ ו-$\phi_{out}=C\cos\theta\,\rho^{-1}+D\sin\theta\,\rho^{-1}$, עם תנאי המעבר $$\left(\dfrac{\partial\phi_{in}}{\partial\rho}-\dfrac{\partial\phi_{out}}{\partial\rho}\right)\!\bigg|_{\rho=R}=M_2\cos\theta-M_1\sin\theta,\qquad (\phi_{in}-\phi_{out})\big|_{\rho=R}=0,$$ מתקבל $$U_{m,in}=\dfrac{M_2}{2}\cos\theta\,\rho-\dfrac{M_1}{2}\sin\theta\,\rho,\qquad U_{m,out}=\dfrac{M_2R^2}{2}\dfrac{\cos\theta}{\rho}-\dfrac{M_1R^2}{2}\dfrac{\sin\theta}{\rho}$$ **ד.** $\vec H=-\nabla U_m$: $$\vec H_{in}=\left(\dfrac{M_1}{2}\sin\theta-\dfrac{M_2}{2}\cos\theta\right)\hat\rho+\left(\dfrac{M_2}{2}\sin\theta+\dfrac{M_1}{2}\cos\theta\right)\hat\theta$$ $$\vec H_{out}=\dfrac{R^2}{2\rho^2}\!\left[\big(M_2\cos\theta-M_1\sin\theta\big)\hat\rho+\big(M_2\sin\theta+M_1\cos\theta\big)\hat\theta\right]$$ **ה.** כעת קיים זרם חופשי, ולכן $\nabla\times\vec H=\vec J\ne0$ — **לא** ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי. אך עדיין ניתן להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה. **ו.** מפרקים לשתי בעיות: (1) בעיית המגנטיזציה שנפתרה לעיל, ו-(2) גליל נושא זרם נפחי אחיד $\vec J=J_0\hat z$ במרחב חופשי. את תרומת הזרם מחשבים בחוק אמפר; מסימטריה $\vec H^{(J)}\parallel\hat\theta$: $$H_\theta^{(J)}(\rho<R)=\dfrac{J_0\rho}{2},\qquad H_\theta^{(J)}(\rho>R)=\dfrac{J_0R^2}{2\rho}$$ ובסופרפוזיציה השדה הכולל: $$\vec H_{in}=\left(\dfrac{M_1}{2}\sin\theta-\dfrac{M_2}{2}\cos\theta\right)\hat\rho+\left(\dfrac{M_2}{2}\sin\theta+\dfrac{M_1}{2}\cos\theta+\dfrac{J_0\rho}{2}\right)\hat\theta$$ $$\vec H_{out}=\dfrac{R^2}{2\rho^2}\!\left[\big(M_2\cos\theta-M_1\sin\theta\big)\hat\rho+\big(M_2\sin\theta+M_1\cos\theta\big)\hat\theta\right]+\dfrac{J_0R^2}{2\rho}\hat\theta$$ $\blacksquare$

נתון גליל בעל רדיוס

R

, אינסופי ביחס לציר

z

. מחוץ לגליל וקטור המגנטיזציה הוא

M_{o u t} = M_{1} \overset{y}{^}

, ובתוך הגליל

M_{in} = M_{2} \overset{x}{^}

(

M_{1}, M_{2}

קבועים נתונים,

ε_{r} = 1

). מרכז הגליל מתלכד עם ראשית הצירים.

א. מהי צפיפות מטען הקיטוב (המגנטי) המשטחי

ρ_{s m}

על פני הגליל?

ב. בעזרת משוואות מקסוול הסבירו מדוע ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי

U_{m}

.

ג. מצאו את

U_{m}

בכל המרחב (בהנחה

∣ U_{m} (r \to \infty) ∣ < \infty

).

ד. מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב.

כעת נתון כי בתוך הגליל קיימת צפיפות זרם נפחית

J = J_{0} \overset{z}{^}

, בנוסף למגנטיזציה.

ה. בעזרת משוואות מקסוול הסבירו האם כעת ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי.

ו. מצאו את השדה המגנטי בכל המרחב.

העתק שאלה

שתף שאלה

סמן כחשוב

סמן כבוצע

הטכניוןמועד ב · 2020 · סמסטר א

★★★★★

מגנטיזציהחומרים מגנטייםמשוואת לפלסעוצמת שדה מגנטישדה מגנטיחוק אמפר

בהיעדר זרמים חופשיים

\nabla \times H = 0 \Rightarrow H = - \nabla U_{m}

עם משוואת לפלס ותנאי קפיצה

ρ_{s m} = M_{2} cos θ - M_{1} sin θ

(פתרונות דיפולריים

\propto ρ

בפנים,

\propto 1/ ρ

בחוץ). כשמתווסף זרם נפחי אין פוטנציאל סקלרי — מפצלים בסופרפוזיציה ומוסיפים את תרומת חוק אמפר לגליל הזרם.

א. צפיפות מטען הקיטוב המגנטי המשטחי היא

ρ_{s m} = - \overset{n}{^} \cdot (M_{o u t} - M_{in}) = \overset{ρ}{^} \cdot (M_{in} - M_{o u t})

. עם

M_{in} \cdot \overset{ρ}{^} = M_{2} cos θ

ו-

M_{o u t} \cdot \overset{ρ}{^} = M_{1} sin θ

ρ_{s m} = M_{2} cos θ - M_{1} sin θ

ב. בהיעדר זרמים חופשיים

\nabla \times H = 0

, ולכן ניתן לכתוב

H = - \nabla U_{m}

. כמו כן המגנטיזציה אחידה בכל תחום (

\nabla \cdot M = 0

בנפח), ולכן

U_{m}

מקיים את משוואת לפלס וכל המקורות הם משטחיים.

ג. בבחירת

ϕ_{in} = A cos θ ρ + B sin θ ρ

ו-

ϕ_{o u t} = C cos θ ρ^{- 1} + D sin θ ρ^{- 1}

, עם תנאי המעבר

(\frac{\partial ϕ _{in}}{\partial ρ} - \frac{\partial ϕ _{o u t}}{\partial ρ})_{ρ = R} = M_{2} cos θ - M_{1} sin θ, (ϕ_{in} - ϕ_{o u t})_{ρ = R} = 0,

מתקבל

U_{m, in} = \frac{M _{2}}{2} cos θ ρ - \frac{M _{1}}{2} sin θ ρ, U_{m, o u t} = \frac{M _{2} R ^{2}}{2} \frac{cos θ}{ρ} - \frac{M _{1} R ^{2}}{2} \frac{sin θ}{ρ}

ד.

H = - \nabla U_{m}

H_{in} = (\frac{M _{1}}{2} sin θ - \frac{M _{2}}{2} cos θ) \overset{ρ}{^} + (\frac{M _{2}}{2} sin θ + \frac{M _{1}}{2} cos θ) \hat{θ}

H_{o u t} = \frac{R ^{2}}{2 ρ ^{2}} [(M_{2} cos θ - M_{1} sin θ) \overset{ρ}{^} + (M_{2} sin θ + M_{1} cos θ) \hat{θ}]

ה. כעת קיים זרם חופשי, ולכן

\nabla \times H = J \neq = 0

— לא ניתן להגדיר פוטנציאל מגנטי סקלרי. אך עדיין ניתן להשתמש בעקרון הסופרפוזיציה.

ו. מפרקים לשתי בעיות: (1) בעיית המגנטיזציה שנפתרה לעיל, ו-(2) גליל נושא זרם נפחי אחיד

J = J_{0} \overset{z}{^}

במרחב חופשי. את תרומת הזרם מחשבים בחוק אמפר; מסימטריה

H^{(J)} ∥ \hat{θ}

H_{θ}^{(J)} (ρ < R) = \frac{J _{0} ρ}{2}, H_{θ}^{(J)} (ρ > R) = \frac{J _{0} R ^{2}}{2 ρ}

ובסופרפוזיציה השדה הכולל:

H_{in} = (\frac{M _{1}}{2} sin θ - \frac{M _{2}}{2} cos θ) \overset{ρ}{^} + (\frac{M _{2}}{2} sin θ + \frac{M _{1}}{2} cos θ + \frac{J _{0} ρ}{2}) \hat{θ}

H_{o u t} = \frac{R ^{2}}{2 ρ ^{2}} [(M_{2} cos θ - M_{1} sin θ) \overset{ρ}{^} + (M_{2} sin θ + M_{1} cos θ) \hat{θ}] + \frac{J _{0} R ^{2}}{2 ρ} \hat{θ}

■

שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - מגנטיזציה