שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - גלים מישוריים

גל אלקטרומגנטי מישורי, עם שדה חשמלי בעל קיטוב לינארי בציר $y$, מתקדם במרחב המאופיין ע"י $\varepsilon_0\varepsilon_r,\ \mu_0$ בכיוון ציר $z$, עם אמפליטודה $E_0$ ותדר $\omega$. ($c$ — מהירות האור בריק.) **א.** רשמו ביטוי פאזורי עבור השדה החשמלי והמגנטי. **ב.** חשבו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי. כעת נתון כי במרחב חצי-אינסופי $z>0$ נמצא מוליך מושלם, ובמרחב חצי-אינסופי $z<0$ מאופיין ע"י $\varepsilon_0\varepsilon_r,\ \mu_0$. הגל המקורי פוגע במוליך המושלם ונוסף גל חוזר, כך שהשדה הכולל הוא $\vec E(z<0)=\vec E_i+\vec E_r$. **ג.** רשמו את תנאי השפה על מישור $z=0$. **ד.** רשמו מפורשות את פאזור השדה החשמלי הכולל עבור $z<0$. **ה.** מצאו את הנקודות בהן פאזור השדה מתאפס זהותית, ובטאו את ההפרש בין נקודות סמוכות בעזרת אורך הגל $\lambda$. **ו.** רשמו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי עבור $z<0$. האם יש העברת הספק בכיוון מסוים? כעת כל המרחב מאופיין ע"י $\varepsilon_0,\ \mu_0$ ומוליכות סופית $\sigma$, כך שניתן להגדיר מקדם דיאלקטרי יחסי אפקטיבי $\varepsilon_{r,\text{eff}}=1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}$. נתון גל עם $\vec E(z=0)=E_0\hat y$ המתקדם בכיוון $z$. **ז.** רשמו ביטוי פאזורי עבור השדה החשמלי והמגנטי עבור $z>0$. **ח.** רשמו את וקטור פוינטינג הקומפלקסי עבור $z>0$ והסבירו את מקור ההבדל מסעיף ב, בפרט עבור $z\to\infty$.

רמז: לגל מישורי $\vec H=\dfrac{\hat k\times\vec E}{\eta}$; מול מוליך מושלם השדה המשיקי מתאפס ומתקבל גל עומד עם פוינטינג מדומה טהור (אין הספק). עבור המוליך הסופי החליפו $\varepsilon_r\to 1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}$ — הגל דועך והפוינטינג מתאפס באינסוף.

פתרון: **א.** מספר הגל $k=\dfrac{\omega\sqrt{\varepsilon_r}}{c}$, ולכן $$\vec E(\vec r)=E_0 e^{-jkz}\hat y,\qquad \eta_r=\sqrt{\dfrac{\mu_0}{\varepsilon_0\varepsilon_r}},\qquad \vec H(\vec r)=\dfrac{\hat k\times\vec E}{\eta_r}=-\dfrac{E_0}{\eta_r}e^{-jkz}\hat x$$ **ב.** $\vec S=\tfrac12\vec E\times\vec H^*=\dfrac{|E_0|^2}{2\eta_r}\hat z$ — **ממשי טהור**, ולכן ההספק מתקדם בכיוון $+z$ ללא איבוד (וקטור פוינטינג קבוע במרחב). **ג.** במוליך מושלם השדה המשיקי מתאפס; מרציפות השדה המשיקי על $z=0$: $$\hat n\times(\vec E_i+\vec E_r)\big|_{z=0}=0\ \Rightarrow\ E_i^{y}(0)+E_r^{y}(0)=0$$ **ד.** מכאן $\vec E_r=-E_0 e^{jkz}\hat y$, והשדה הכולל $$\vec E=E_0\!\left(e^{-jkz}-e^{jkz}\right)\hat y=-2jE_0\sin(kz)\,\hat y$$ ובכתיב זמני $\vec E=-2E_0\sin(kz)\sin(\omega t)\,\hat y$. **ה.** השדה מתאפס כאשר $\sin(kz)=0$, כלומר $z=\dfrac{n\lambda}{2}$; ההפרש בין נקודות סמוכות הוא $\dfrac{\lambda}{2}$. **ו.** נוצר **גל עומד**. וקטור פוינטינג $$\vec S=\tfrac12\vec E\times\vec H^*\ \propto\ \big(-2j\sin(kz)\big)\big(2\cos(kz)\big)\,\hat z$$ הוא **מדומה טהור**, ולכן אין העברת הספק — אנרגיה חשמלית ומגנטית אגורות לסירוגין במרחב. **ז.** מקדם השבירה $n=\sqrt{1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}}$ ומספר הגל $k=\dfrac{n\omega}{c}$, ולכן $$\vec E=E_0\,e^{-j\frac{\omega}{c}\sqrt{1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}}\,z}\,\hat y$$ מכיוון שאין צורך בפיתוח מפורש של השורש, מחישוב $\vec H=\dfrac{\nabla\times\vec E}{-j\omega\mu_0}$ מתקבל $$\vec H=-\sqrt{1-j\dfrac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}}\,\dfrac{E_0}{\eta_0}\,e^{-j\frac{\omega}{c}\sqrt{1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}}\,z}\,\hat x$$ **ח.** $$\vec S=\tfrac12\vec E\times\vec H^*=\dfrac{|E_0|^2}{2\eta_r^{*}}\,e^{-2\,\mathrm{Im}\left\{\sqrt{1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon_0}}\right\}\frac{\omega}{c}z}\,\hat z$$ ההספק נע בכיוון $+z$ אך **דועך** בשל ההפסדים בחומר. עבור $z\to\infty$ ההספק מתאפס (בניגוד לסעיף ב, שם היה קבוע), משום שהגל דועך כולו — זהו מקור ההבדל. $\blacksquare$