שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018 - גלים מישוריים

תווך אינסופי בכיווני $\hat y$ ו-$\hat z$ בעל מקדם דיאלקטרי $\epsilon_r=10$ ומקדם פרמאבילי $\mu_r=3$, תחום במישורים $x=0$ ו-$x=d$ ע"י לוחות בעלי מוליכות אינסופית. גל מישורי בתדר $f=10\,\text{GHz}$ וצפיפות הספק $p=2\,\text{W/m}^2$ (מתקיים רק בין הלוחות) מתקדם במבנה בכיוון $\hat z$. **א.** כתבו במפורש את וקטור הגל ואת וקטור פוינטינג. מהי מהירות הפאזה? **ב.** אילו קיטובים יכול הגל לשאת (קווי, מעגלי, אליפטי)? **ג.** כתבו את פאזורי השדה החשמלי והמגנטי לכל מקרה של תשובה לסעיף ב. **ד.** האם הגל המתקדם ישרה זרם על הלוחות? אם כן — מהו כיוון הזרימה ומהו פאזור הזרם על כל אחד מהלוחות? אם לא — הסבירו. **ה.** האם ניתן למדוד מתח (הפרש פוטנציאלים) בין שני הלוחות במישור $z=0$? אם כן — מהו פאזור המתח. אם לא — הסבירו. **ו.** הראו במפורש את קיום משפט פוינטינג הדיפרנציאלי המרוכב בהתקן. **ז.** סובבו את כיוון התקדמות הגל לכיוון $\dfrac{\hat y-\hat z}{\sqrt2}$. כתבו במקרה זה את תשובותיכם לסעיפים א–ה.

רמז: הלוחות המושלמים מאפסים את $E$ המשיקי ⇒ קיטוב קווי בכיוון $\hat x$ בלבד; $\vec H=\hat k\times\vec E/\eta$ עם $\eta=\eta_0\sqrt{\mu_r/\epsilon_r}$. הזרם המושרה נובע מקפיצת $H$ המשיקי, והמתח ניתן להגדרה רק כשאין רכיב $H$ ניצב למישור $z=0$. בסיבוב הכיוון בדקו מחדש את רכיב $H$ הניצב.

פתרון: **א.** $\vec k=\dfrac{2\pi f\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}{c}\hat z=\dfrac{2\pi\cdot10^{10}\sqrt{30}}{3\cdot10^8}\hat z\approx1147\,\hat z\ \left[\tfrac{\text{rad}}{\text{m}}\right]$. וקטור פוינטינג (הממוצע בזמן שווה לצפיפות ההספק): $\vec S=p\,\hat z=2\,\hat z\ [\text{W/m}^2]$. מהירות הפאזה $v_p=\dfrac{c}{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}=\dfrac{3\cdot10^8}{\sqrt{30}}\approx0.18c$. **ב.** רק **קיטוב קווי בכיוון $\hat x$**: השדה החשמלי המשיקי חייב להתאפס על הלוחות המושלמים ב-$x=0,d$ (כלומר הרכיב בכיוון $\hat y$ מתאפס), ולכן השדה היחיד האפשרי הוא בכיוון $\hat x$. **ג.** $\vec E=E_0e^{-jkz}\hat x$, ו-$\vec H=\dfrac{E_0}{\eta}e^{-jkz}\hat y$ עם $\eta=\eta_0\sqrt{\dfrac{\mu_r}{\epsilon_r}}=376.7\sqrt{\dfrac{3}{10}}\ \Omega$. **ד.** כן. הזרם מפצה על אי-הרציפות בשדה המגנטי המשיקי בין החומר למוליך המושלם. פאזורי צפיפות הזרם המשטחי (הזרם עצמו = צפיפות $\times$ רוחב ההתקן ב-$\hat y$): $$\vec J_{s}(x=0)=\dfrac{E_0}{\eta}e^{-jkz}\hat z,\qquad \vec J_{s}(x=d)=-\dfrac{E_0}{\eta}e^{-jkz}\hat z$$ **ה.** כן. השדה המגנטי אינו מכיל רכיב הניצב למישור $z=0$, ולכן $\oint\vec E\cdot d\vec l=0$ לכל מסלול סגור במישור זה (אין שטף מגנטי דרכו) וניתן להגדיר מתח: $$V=E_0\,d$$ **ו.** משפט פוינטינג המרוכב: $\nabla\cdot\vec S-2j\omega\!\left(\epsilon_0\tfrac14|E|^2-\mu_0\tfrac14|H|^2\right)=-\tfrac12\sigma|E|^2-\tfrac12\vec E\cdot\vec J_s^*$. בתוך ההתקן אין זרם ואין מוליכות, ולכן אגף ימין מתאפס; וקטור פוינטינג קבוע ולכן $\nabla\cdot\vec S=0$; והחלק המדומה מתאפס כי האנרגיה המגנטית האגורה שווה לחשמלית האגורה. $\blacksquare$ **ז.** עם $\hat k=\dfrac{\hat y-\hat z}{\sqrt2}$: - **(1)** $\vec k=\dfrac{1147}{\sqrt2}(\hat y-\hat z)$, $\vec S=\dfrac{2}{\sqrt2}(\hat y-\hat z)=\sqrt2(\hat y-\hat z)$; מהירות הפאזה ללא שינוי. - **(2)** ללא שינוי — קיטוב קווי בכיוון $\hat x$. - **(3)** $\vec E=E_0e^{-j\vec k\cdot\vec r}\hat x$, $\vec H=\dfrac{E_0}{\sqrt2\,\eta}e^{-j\vec k\cdot\vec r}(-\hat y-\hat z)$ (שלשה ימנית ניצבת). - **(4)** $\vec J_{s}(x=0)=\dfrac{E_0}{\sqrt2\,\eta}e^{-j\vec k\cdot\vec r}(\hat y-\hat z)$, $\vec J_{s}(x=d)=-\dfrac{E_0}{\sqrt2\,\eta}e^{-j\vec k\cdot\vec r}(\hat y-\hat z)$. - **(5)** לא — כעת לשדה המגנטי יש רכיב ($\hat z$) הניצב למישור $z=0$, ולכן לא ניתן להגדיר מתח.