שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2022 - קוואזי-סטטיקה

נתון התקן אלקטרומגנטי בעל סימטריה גלילית: גובה ההתקן בציר $z$ הוא $d$ והרדיוס החיצוני $R_2$. שני בסיסים עגולים ב-$z=0$ וב-$z=d$ עשויים מוליך מושלם. התווך בתוך ההתקן ומחוצה לו הוא ריק. בגליל פנימי שרדיוסו $R_1$ יש מוליכות חשמלית $\sigma$ וציר סימטריה משותף עם הבסיסים. ההתקן מחובר למקור זרם המפולג באחידות על המעטפת $\rho=R_2$; הזרם הכולל על מעטפת זו הוא $I_0\cos(\omega t)$ בכיוון השלילי של $\hat z$, ומוזרם אל/מהגליל הפנימי דרך הבסיסים (זרם משטחי רדיאלי). נתון $d\ll R_1,R_2$ ולכן השדות אינם משתנים ביחס ל-$z$. **סעיף א (4 נק'):** מהם רכיבי השדה החשמלי שאינם מתאפסים בהתקן? עבור סעיפים ב–ו נתון $\sigma\to\infty$ בגליל הפנימי. **סעיף ב (6 נק'):** מה התנאי על תדר המקור לקבלת משטר קוואזי-סטטי בהתקן? מה סוג המשטר שיתקבל? **סעיף ג (6 נק'):** בהנחת המשטר הקוואזי-סטטי, מהו פאזור השדה הדומיננטי בתחום $0<\rho<R_2$? ומהו מחוץ להתקן, מיד ליד המעטפת (ברדיוס גדול במקצת מ-$R_2$)? **סעיף ד (6 נק'):** מהו פאזור התיקון הראשון בשדה המשני בתחום $0<r<R_2$? ומהו מחוץ להתקן מיד ליד המעטפת? **סעיף ה (6 נק'):** מהי צפיפות הזרם המשטחית על הבסיסים העגולים ועל המעטפת ב-$r=R_2$? **סעיף ו (6 נק'):** מהו אימפדנס הכניסה להתקן (הכניסה מוגדרת כמעטפת $r=R_2$)? עבור סעיפים ז–ח נתון כי $\sigma$ בגליל הפנימי סופי והזרם מפולג באחידות בתוך החומר המוליך (שרדיוסו $R_1$). **סעיף ז (8 נק'):** אילו משטרים קוואזי-סטטיים ייתכנו בגליל הפנימי? עבור כל משטר, רשמו את התנאים המקשרים בין תכונות החומר ($\varepsilon,\mu,\sigma$) והמימדים לבין תדר המקור $\omega$. **סעיף ח (8 נק'):** עבור כל משטר מסעיף ז, חשבו את הפאזורים של השדות (הדומיננטי והמשני) בגליל הפנימי.

רמז: בדפנות מוליך מושלם השדה המשיק מתאפס, וחוסר התלות ב-$z$ מותיר רק את $E_z$. במשטר MQS מוצאים תחילה את $H_\phi$ מחוק אמפר ($2\pi\rho H_\phi=I_0$), ואז את התיקון החשמלי מחוק פאראדיי.

פתרון: **סעיף א:** בדפנות המוליכות המושלמות השדה החשמלי המשיק מתאפס, ולכן $E_\phi(z=0)=E_\phi(z=d)=E_\rho(z=0)=E_\rho(z=d)=0$. מכיוון שהשדות אינם משתנים בכיוון $z$, מתאפסים $E_\phi,E_\rho$ בכל ההתקן. לפיכך **רק רכיב $E_z$ אינו מתאפס**. **סעיף ב:** בהתקן קיים קצר ב-DC (הגליל הפנימי מוליך מושלם), ולכן המשטר הוא **MQS** (קוואזי-סטטי מגנטי). התנאי הוא שגודל ההתקן קטן בהרבה מאורך הגל: $R_2\ll 2\pi\frac{c}{\omega}$. **סעיף ג:** במשטר MQS השדה הדומיננטי הוא **המגנטי**. במוליך המושלם $H_\phi(\rho<R_1)=0$. מחוק אמפר על לולאה ברדיוס $\rho$ מתקבל $2\pi\rho\,H_\phi=I_0$, ולכן $$H_\phi(R_1<\rho<R_2)=\frac{I_0}{2\pi\rho}.$$ מיד מחוץ למעטפת סך הזרם המוקף אפס, ולכן $H_\phi(\rho>R_2)=0$. **סעיף ד:** התיקון הראשון הוא השדה החשמלי המשני. מחוק פאראדיי $\nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H$ מקבלים $-\frac{\partial E_z}{\partial r}=-j\omega\mu_0\frac{I_0}{2\pi r}$, ובעזרת $E_z(r\le R_1)=0$: $$E_z(R_1<r<R_2)=j\omega\mu_0\frac{I_0}{2\pi}\ln\frac{r}{R_1}.$$ בשל רציפות $E_z$ (אין מטענים ואין מעבר חומר) מתקבל מחוץ למעטפת $E_z(R_2^{+})=j\omega\mu_0\frac{I_0}{2\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}$. **סעיף ה:** מסימטריה אזימוטלית ומשימור הזרם, על המעטפת $$\vec J_s(r=R_2)=-\frac{I_0}{2\pi R_2}\hat z,$$ ועל הבסיסים (זרם רדיאלי) $\vec J_s(z=0)=-\frac{I_0}{2\pi r}\hat r$ ו-$\vec J_s(z=d)=\frac{I_0}{2\pi r}\hat r$. **סעיף ו:** המתח בכניסה $V=-\int_d^{0} E_z(r=R_2)\,dz=j\omega\mu_0 d\,\frac{I_0}{2\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}$, ולכן אימפדנס הכניסה **אינדוקטיבי**: $$Z=\frac{V}{I_0}=j\omega\frac{\mu_0 d}{2\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}.$$ **סעיף ז:** בגליל הפנימי (עם $\sigma$ סופי) ייתכנו: **משטר EQS** אם השינוי הזמני של האנרגיה החשמלית גדול בהרבה מההפסדים האוהמיים: $\omega\gg\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ (כלומר $\sigma\ll\omega\varepsilon_0$). **משטר זרימה סטציונרי** אם $\sigma\gg\omega\varepsilon_0$ וגם עומק החדירה גדול בהרבה מהרדיוס, $R_1^2\ll\delta^2$, כלומר $\sigma\ll\frac{2}{\omega\mu_0 R_1^2}$. משטר MQS אינו מתקיים כאן, שכן אם עומק החדירה קטן מהרדיוס מתקיימת משוואת דיפוזיה לשדה המגנטי. **סעיף ח:** צפיפות הזרם האחידה בגליל היא $\vec J=\frac{I_0}{\pi R_1^2}\hat z$. *EQS:* מחוק אוהם השדה הדומיננטי $E_z=\frac{I_0}{\sigma\pi R_1^2}$, והשדה המגנטי (המשני) מחוק אמפר-מקסוול $\nabla\times\vec H=\vec J+j\omega\varepsilon_0\vec E$: $$H_\phi(r<R_1)=\frac{I_0}{2\pi R_1^2}r+j\omega\varepsilon_0\frac{I_0 r}{2\sigma\pi R_1^2}\approx j\omega\varepsilon_0\frac{I_0 r}{2\sigma\pi R_1^2}.$$ *זרימה סטציונרית:* השדה החשמלי זהה, אך השדה המגנטי הוא $H_\phi(r<R_1)\approx\frac{I_0}{2\pi R_1^2}r$. $\blacksquare$