שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2018 - חומרים מגנטיים

יריעת זרם משטחי בגודל $\vec K=K_0\sin\theta\,\hat\phi$ נמצאת על שפת כדור ברדיוס $R$. החומר בתוך הכדור בעל חדירות מגנטית $\mu$, מחוץ לכדור מרחב חופשי, והשדה המגנטי אפס באינסוף. **א.** מהם תנאי השפה על $\vec H,\vec B$ ברדיוס $r=0$ וברדיוס $r=R$? **ב.** מהי הצורה הכללית (המצומצמת ביותר) של הפוטנציאל המגנטי הסקלרי בתוך ומחוץ להתקן, המתאימה לתנאי השפה? (אין צורך למצוא קבועים.) **ג.** מהו השדה המגנטי בתוך ההתקן? **ד.** עבור $r\gg R$, מהו מומנט הדיפול המגנטי האפקטיבי של ההתקן? (תזכורת: הפוטנציאל הסקלרי של דיפול $m\hat z$ בראשית הוא $\Phi_m=\dfrac{m\cos\theta}{4\pi r^2}$.) **ה.** ציירו קווים שווי-פוטנציאל $\Phi_m$ עבור $r\gg R$. **ו.** ציירו קווי שדה מגנטי $\vec H$ עבור $r<R$. **ז.** כיצד תשתנה תשובתכם לסעיף ג אם כעת $\mu\to\infty$ בתוך ההתקן? **ח.** מהו וקטור המגנטיזציה $\vec M$ בתחום $r<R$? **ט.** מהו זרם המגנוט $\vec J_M$ בכל המרחב?

רמז: $\vec H=-\nabla\Phi_m$ עם $\Phi_m\propto r\cos\theta$ בפנים ו-$\propto\cos\theta/r^2$ בחוץ; תנאי הקפיצה $H_\theta(R^+)-H_\theta(R^-)=K_0\sin\theta$ ורציפות $B_r$ קובעים את הקבועים. השדה בפנים אחיד $\frac{2\mu_0K_0}{\mu+2\mu_0}\hat z$ (מתאפס כש-$\mu\to\infty$), ובחוץ שדה דיפול. $\vec M$ אחיד ⇒ $\vec J_M=0$.

פתרון: **א.** $\vec H(r=0)$ סופי. ב-$r=R$: קפיצת $H$ המשיקי בשל הזרם המשטחי, $H_\theta(R^+)-H_\theta(R^-)=K_0\sin\theta$; ורציפות $B$ הנורמלי, $\mu_0H_r(R^+)=\mu H_r(R^-)$. **ב.** $\vec H=-\nabla\Phi_m$ עם $\Phi_m$ הרמוני ($m=1$ מהמקור $\sin\theta$): $$\Phi_m=\begin{cases}A\,r\cos\theta & r<R\\[1mm] \dfrac{C}{r^2}\cos\theta & r>R\end{cases}$$ **ג.** מ-$\vec H=-\nabla\Phi_m$: $H_\theta=A\sin\theta$, $H_r=-A\cos\theta$ (בפנים); $H_\theta=\dfrac{C}{r^3}\sin\theta$, $H_r=\dfrac{2C}{r^3}\cos\theta$ (בחוץ). תנאי השפה נותנים $\dfrac{C}{R^3}-A=K_0$ ו-$2\mu_0\dfrac{C}{R^3}=-\mu A$, ומכאן $$A=-\dfrac{2\mu_0K_0}{\mu+2\mu_0},\qquad C=\dfrac{\mu R^3K_0}{\mu+2\mu_0}.$$ השדה בפנים אחיד ($\cos\theta\,\hat r-\sin\theta\,\hat\theta=\hat z$): $$\vec H(r<R)=-A\,\hat z=\dfrac{2\mu_0K_0}{\mu+2\mu_0}\,\hat z$$ **ד.** בחוץ $\Phi_m=\dfrac{C}{r^2}\cos\theta$, והשוואה ל-$\dfrac{m\cos\theta}{4\pi r^2}$ נותנת $$m=4\pi C=\dfrac{4\pi K_0R^3}{1+\frac{2\mu_0}{\mu}}=\dfrac{4\pi\mu K_0R^3}{\mu+2\mu_0}$$ **ה.** קווים שווי-פוטנציאל של **דיפול** (סימטריים סביב ציר $z$, עם אונות עליונה/תחתונה). **ו.** קווים **ישרים ומקבילים** (בכיוון $\hat z$) בתוך הכדור — שדה אחיד. **ז.** כאשר $\mu\to\infty$: $\vec H(r<R)=\dfrac{2\mu_0K_0}{\mu+2\mu_0}\hat z\to\vec 0$. השדה המגנטי בפנים מתאפס, שכן האינדוקציה $\vec B=\mu\vec H$ חייבת להישאר סופית. **ח.** $\vec M=\dfrac{1}{\mu_0}\vec B-\vec H=\left(\dfrac{\mu}{\mu_0}-1\right)\vec H=\left(\dfrac{\mu}{\mu_0}-1\right)\dfrac{2\mu_0K_0}{\mu+2\mu_0}\,\hat z$. **ט.** $\vec J_M=\nabla\times\vec M=\vec 0$, שכן $\vec M$ אחיד בתוך הכדור. $\blacksquare$