שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2020 - קוואזי-סטטיקה

נתון התקן אלקטרומגנטי באורך $L$ (סופי בכיוון התקדמות ההספק), מחומר עם מקדם דיאלקטרי יחסי $\varepsilon_r$, חדירות מגנטית יחסית $\mu_r=1$ ומוליכות סופית $\sigma$, המוזן במקור בתדר $\omega$ כך שמתקיים $\sigma\gg\omega\varepsilon_0\varepsilon_r$. עבור סעיפים א–ג נתון גרף של $|\,\vec H\,|$ בתוך ההתקן הדועך אקספוננציאלית עם המרחק; קצה ההתקן ב-$z=L$ סגור בפיסה דקה של חומר מוליך. **א.** האם ההתקן נמצא במשטר קווזי-סטטי כלשהו? אם כן, קבעו את סוגו ונמקו. אם לא, הסבירו מדוע. **ב.** האם ניתן, בעזרת שינוי תדר המקור בלבד, לקבל תשובה הפוכה לזו שבסעיף א? אם כן, יש להגדיל או להקטין את התדר? **ג.** שרטטו איכותית כיצד ייראה הגרף עבור אורך $L'=\dfrac{L}{2020}$ (שאר הפרמטרים ללא שינוי), וכיצד תשתנה התשובה לסעיף א. כעת נדון בהתקן המחולק לשני חלקים: החלק הימני באורך $L$ (סופי בציר $z$), והחלק השמאלי אינסופי בציר $z$; שניהם אינסופיים בציר $y$ וצרים בציר $x$ בין מוליכים מושלמים ב-$x=0$ וב-$x=d$ ($L\gg d$). מקור זרם משטחי $\vec J_s=2J_0\cos(\omega t)\hat x$ נמצא על מישור $z=0$. הנחות: הפסדים גבוהים $\sigma\gg\omega\varepsilon_0$; $\dfrac{2}{\mu_0\sigma L^2}\gg\omega$ וגם $\dfrac{2\pi c}{L}\gg\omega$; $W\gg L,d$ (יחידת אורך בציר $y$); צפיפות הזרם מתחלקת שווה בין שני החלקים. **ד.** עבור כל חלק, באיזה משטר קווזי-סטטי הוא נמצא (או מדוע לא מתקיים)? **ה.** רשמו את קירוב משוואות מקסוול הפאזורי לכל חלק (עבור $\nabla\times\vec E$ ו-$\nabla\times\vec H$). **ו.** קבעו את כיווני השדות בשני החלקים ובאילו קואורדינטות הם תלויים. **ז.** מצאו את פאזור השדה החשמלי בחלק הימני. **ח.** חשבו את פאזור השדה המגנטי בחלק הימני (בהינתן $\vec E_{left},\vec H_{left}$ ידועים).

רמז: השוו את עומק החדירה $\delta=\sqrt{2/(\omega\mu_0\sigma)}$ לאורך $L$: $\delta\ll L$ ⇒ אין קווזי-סטטיקה, $\delta\gg L$ ⇒ זרימה סטציונרית. חלק אינסופי בכיוון ההספק לעולם אינו קווזי-סטטי. בחלק המוליך הימני $\vec E=\vec J/\sigma$ עם $\vec J$ אחיד, ו-$H_y$ מתקבל מאינטגרציה של חוק אמפר עם תנאי הקפיצה במקור.

פתרון: **א.** לא. ההפסדים גבוהים והשדה המגנטי דועך אקספוננציאלית עם עומק חדירה $\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_0\sigma}}$ הקטן בהרבה מאורך ההתקן ($\delta\ll L$). כפי שנלמד, כאשר ההתקן ארוך בהרבה מעומק החדירה אינו יכול להיות באף משטר קווזי-סטטי. **ב.** כן. יש **להקטין** את תדר המקור עד ש-$\delta=\sqrt{\dfrac{2}{\omega\mu_0\sigma}}\gg L$; אז מתקבל משטר של **זרימה סטציונרית**. **ג.** עבור $L'=\dfrac{L}{2020}$ ההתקן קצר בהרבה מעומק החדירה, ולכן $|\,\vec H\,|$ יהיה בקירוב טוב **קבוע** על פני ההתקן (הדעיכה האקספוננציאלית כמעט לא נראית — ההתקן נגמר הרבה לפני שהגרף דועך). לכן התשובה לסעיף א משתנה, וכעת המשטר הוא **זרימה סטציונרית**. **ד.** החלק הימני (סופי, הפסדים גבוהים, $\dfrac{2}{\mu_0\sigma L^2}\gg\omega$ כלומר $\delta\gg L$) נמצא במשטר **זרימה סטציונרית**. החלק השמאלי, האינסופי בכיוון התקדמות ההספק, **אינו** נמצא באף משטר קווזי-סטטי. **ה.** חלק ימני (זרימה סטציונרית): $\ \nabla\times\vec E=0,\quad \nabla\times\vec H=\vec J=\sigma\vec E$. חלק שמאלי (הפסדים גבוהים): $\ \nabla\times\vec E=-j\omega\mu_0\vec H,\quad \nabla\times\vec H=\vec J=\sigma\vec E$. **ו.** השדה החשמלי המשיקי מתאפס על המוליכים ב-$x=0,d$, וההתקן צר ($\partial/\partial x\to0$); ההתקן אינסופי ב-$y$ ($\partial/\partial y=0$). מכיוון שכיוון זרימת ההספק הוא $\hat z$, השדה החשמלי בכיוון $\hat x$ והמגנטי בכיוון $\hat y$. בחלק הימני $\nabla\times\vec E=0$ נותן $\partial E_x/\partial z=0$ כך שהשדה קבוע גם ב-$z$; בחלק השמאלי השדות תלויים ב-$z$. סה"כ: חלק ימני: $\ \vec E=E_0\hat x,\quad \vec H=H(z)(-\hat y)$. חלק שמאלי: $\ \vec E=E(z)\hat x,\quad \vec H=H(z)\hat y$. **ז.** בחומר מוליך $\vec J=\sigma\vec E$. הזרם הכולל הנכנס לחלק הימני הוא $I=J_0 W$ (מחצית מ-$2J_0$), ולכן צפיפות הזרם הנפחית האחידה $$\vec J=\dfrac{I}{WL}(-\hat x)=\dfrac{J_0}{L}(-\hat x)\ \Rightarrow\ \vec E=\dfrac{J_0}{L\sigma}(-\hat x)$$ **ח.** תנאי השפה במקור ($z=0$), עם כיווני השדות שנקבעו: $$(-\hat z)\times\big(\vec H_{left}(0)-\vec H_{right}(0)\big)=2J_0\hat x\ \Rightarrow\ H_{left}(0)-H_{right}(0)=2J_0$$ מחוק אמפר בחלק הימני $\nabla\times\vec H=\sigma\vec E$: $$-\dfrac{\partial H_{y,right}}{\partial z}=-\dfrac{J_0}{L}\ \Rightarrow\ H_{y,right}=\dfrac{J_0}{L}z+C$$ הצבת תנאי השפה ($C=H_{left}(0)-2J_0$) נותנת $$H_{y,right}(z)=H_{left}(0)+J_0\!\left(\dfrac{z}{L}-2\right)$$ $\blacksquare$