שאלת מבחן בשדות אלקטרומגנטיים - הטכניון 2021 - דיאלקטריקים

נתונה קוביה פרו-אלקטרית בעלת אורך צלע $a$ שמרכזה בראשית הצירים, בעלת וקטור צפיפות קיטוב $\vec P(\vec r)$. הקוביה מוקפת במוליך מושלם מוארק המאלץ פוטנציאל חשמלי אפס על שפתה. **סעיף א (4 נק'):** מהי המשוואה שהפוטנציאל החשמלי $\phi$ מקיים בתוך הקוביה ומחוצה לה? עבור סעיפים ב–ה נתון $\vec P(\vec r)=P_0(\hat x+\hat y)$, כאשר $P_0$ סקלר ממשי קבוע במרחב. **סעיף ב (4 נק'):** מהי כעת המשוואה שהפוטנציאל $\phi$ מקיים בתוך ומחוץ לקוביה? **סעיף ג (5 נק'):** מהי צפיפות מטען הקיטוב המשטחי על כל אחת משפות הקוביה? **סעיף ד (7 נק'):** מהו השדה החשמלי $\vec E(\vec r)$ בכל המרחב (בתוך ומחוץ לקוביה)? **סעיף ה (8 נק'):** מהי צפיפות המטען המשטחי על כל אחת מפאות המוליך המושלם? עבור שני הסעיפים הבאים נתון $\vec P(\vec r)=P_0\left\{x^2\hat x+\left[y^2-\left(\tfrac{a}{2}\right)^2\right]\hat y+\left[z^2-\left(\tfrac{a}{2}\right)^2\right]\hat z\right\}$. **סעיף ו (10 נק'):** נתון כי פונקציית גרין בתוך התיבה ידועה ומסומנת $G(\vec r\,|\,\vec r_s)$. רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל $\phi$ בתוך ומחוץ לקוביה. **סעיף ז (12 נק'):** מסירים את המוליך המושלם (התיבה נשארת ללא אילוץ פוטנציאל על שפתה). רשמו ביטוי אינטגרלי לפוטנציאל $\phi$ בכל המרחב, מפושט ומפורש ככל הניתן.

רמז: מ-$\vec E=-\nabla\phi$ ו-$\nabla\cdot\vec D=0$ מקבלים $\nabla^2\phi=\nabla\cdot\vec P/\varepsilon_0$ — פואסון בתוך, לפלס מחוץ. לקיטוב קבוע $\nabla\cdot\vec P=0$ ובמוליך מוארק ($\phi=0$ בשפה) מתקבל $\phi\equiv 0$ ולכן $\vec E=0$. עבור הקיטוב המשתנה מרכיבים את $\phi$ מגרין: מטען נפחי $-\nabla\cdot\vec P$ ומטענים משטחיים $\vec P\cdot\hat n$.

פתרון: **סעיף א:** בתוך הקוביה מ-$\vec D=\varepsilon_0\vec E+\vec P$, $\vec E=-\nabla\phi$ ו-$\nabla\cdot\vec D=0$ נובע $$\nabla^2\phi=\frac{\nabla\cdot\vec P}{\varepsilon_0}$$ (משוואת פואסון). מחוץ לקוביה $\vec P=0$ ולכן $\nabla^2\phi=0$ (לפלס). **סעיף ב:** עבור $\vec P=P_0(\hat x+\hat y)$ קבוע מתקיים $\nabla\cdot\vec P=0$, ולכן $\phi$ מקיים את **משוואת לפלס** $\nabla^2\phi=0$ בכל המרחב. **סעיף ג:** $\rho_{sp}=\vec P\cdot\hat n$. על הפאות הניצבות ל-$z$ ($z=\pm a/2$): $\rho_{sp}=0$. פאה $x=+a/2$: $\rho_{sp}=P_0$; פאה $x=-a/2$: $-P_0$. פאה $y=+a/2$: $P_0$; פאה $y=-a/2$: $-P_0$. **סעיף ד:** $\phi$ מקיים את משוואת לפלס ומאולץ אפס על השפה (מוליך מוארק), ולכן הפתרון היחיד הוא $\phi\equiv 0$, ומכאן $\vec E=0$ בכל המרחב. **סעיף ה:** כל השדות אפס בתוך ומחוץ לתיבה, ולכן המטען הכולל על כל פאה (קיטוב + חופשי) חייב להתאפס. המטען החופשי על כל פאה שווה למינוס מטען הקיטוב המשטחי מסעיף ג: $x=\pm a/2$: $\mp P_0$; $y=\pm a/2$: $\mp P_0$; פאות $z$: $0$. **סעיף ו:** מ-$\nabla\cdot\vec P=P_0(2x+2y+2z)$ מתקבל $\nabla^2\phi=\frac{P_0}{\varepsilon_0}(2x+2y+2z)$. עם פונקציית גרין המקיימת $\phi=0$ על שפת התיבה: $$\phi(\vec r)=-P_0\iiint_V G(\vec r\,|\,\vec r_s)\,(2x_s+2y_s+2z_s)\,dv_s.$$ **סעיף ז:** בהסרת המוליך משתמשים בגרין של מרחב חופשי $\frac{1}{4\pi\varepsilon_0|\vec r-\vec r_s|}$. כעת תורמים גם מטעני הקיטוב הנפחיים $\rho_P=-\nabla\cdot\vec P$ וגם המשטחיים (רק על פאות $x=\pm a/2$, $\rho_{ps}=\pm P_0(a/2)^2$): $$\phi(\vec r)=\frac{P_0}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{a^2}{4}\!\int_{-a/2}^{a/2}\!\!\int_{-a/2}^{a/2}\!\frac{dy_s\,dz_s}{\sqrt{\left(x-\tfrac{a}{2}\right)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2}}-\frac{a^2}{4}\!\int_{-a/2}^{a/2}\!\!\int_{-a/2}^{a/2}\!\frac{dy_s\,dz_s}{\sqrt{\left(x+\tfrac{a}{2}\right)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2}}-\iiint_V\frac{2x_s+2y_s+2z_s}{\sqrt{(x-x_s)^2+(y-y_s)^2+(z-z_s)^2}}\,dv_s\right].$$ $\blacksquare$